X10, X 100, X 1000

Ma grande poursuit la progression Montessori avec la multiplication. Après avoir travaillé la multiplication avec les perles dorées, puis les timbres, je lui aie présenté la multiplication par 10, 100, 1000. Une belle démonstration des merveilles de la pédagogie Montessori qui amènent l'enfant à trouver lui-même la règle. Résultat : l'enfant comprend vraiment, retient davantage la leçon et, surtout, il en ressent une énorme fierté d'avoir découvert par lui-même! 

1ère étape : 

Tout d'abord, on écrit une multiplication par 10 (exemple : 10 X 251). (On n'écrit pas la réponse tout de suite, bien sûr ;) On souligne le zéro du dix sans rien mentionner à ce sujet. 

On demande à l'enfant d'aller chercher 10 X 251 (10 fois la quantité 251 en perles dorées). 

Par la suite, l'enfant effectue les changes nécessaire pour compter le résultat. Lorsque le change est fait, on place les perles changées en haut du tapis. Donc, ici, on a changé les dix perles des unités contre une barrette de 10. Il n'y a plus de perle d'unité (0). 

Ici, on a changé les cinquante barrettes de 10 contre cinq plaquettes de 100 (que l'on place en haut du tapis). 

Finalement, on a changé les vingt plaquettes de 100 contre deux cubes de 1000. Le résultat de 10 X 251 = 2510. On souligne les zéros sans rien dire à ce sujet. L'enfant fera une ou deux autres multiplications par 10 de cette façon avant qu'on lui montre une façon plus rapide de procéder. 

2e étape : 

Méthode que voici en photo : )

Je reprends ici le même exemple que plus haut (10 X 251). On demande à l'enfant d'aller chercher 251 en perles, mais une seule fois cette fois-ci.  

On isole d'abord la perle d'unité et on demande à l'enfant : 'Si je prends 10 fois cette unité, combien j'aurai?' 

L'enfant répond 'une dizaine' et il va la chercher en rangeant la perle d'unité à la banque. On a donc fait un change (10 perles d'unités = une barrette de 10). 

Cette barrette de 10, on l'isole en haut du tapis afin de ne pas la mélanger avec les autres barrettes. 

On poursuit avec les barrettes de 10 que l'on veut multiplier par 10. On demande donc à l'enfant : 'Si je prends 10 fois cette barrette de 10, combien j'aurai?' L'enfant répond '100' ou une centaine.  

Centaine que l'on place aussitôt en haut (en remettant la barrette de 10 que l'on vient de changer à la banque). 

On fait la même chose pour les quatre autres barrettes de 10. On a maintenant cinq plaquettes de 100. 

Finalement, on demande à l'enfant : 'Si je prends 10 fois cette plaquette de 100, combien j'aurai?'. L'enfant répond : '1000'. 

On change donc cette plaquette de 100 contre une cube de mille que l'on place en haut du tapis.

On procède alors au dernier change de la dernière plaquette de 100 que l'on multiplie aussi par 10. Ce qui nous donne un deuxième cube de 1000. Et voilà le résultat (10 X 251 = 2510). J'ai présenté la même multiplication pour ce billet sur mon blog, mais en réalité, on ne présente pas nécessairement deux fois la même multiplication par 10. ;) L'enfant fait ensuite plusieurs multiplications par 10 de cette façon (plus rapide que la première étape). 

Par la suite, on propose à l'enfant une multiplication par 100. On ne repasse évidemment pas par la première étape puisque l'on manquerait de perles. ;) On passe donc tout de suite à la deuxième étape. 

Ici, on va effectuer le calcul suivant : 100 X 45. 

Je prends donc une première perle d'unité et demande à l'enfant : 'Si je prends cette unité 100 fois, combien j'aurai?' L'enfant devrait répondre 100. On échange donc une perle d'unité (que l'on remet à la banque) contre une plaquette de 100 que l'on place en haut du tapis. 

On fait la même chose pour les quatre autres perles d'unités. On a donc maintenant cinq plaques de 100 puisqu'on a multiplié les cinq perles d'unités par 100. 

Même procédure pour les barrettes de 10. On demande à l'enfant : 'Si je prends cette dizaine 100 fois, combien j'aurai?'. L'enfant répondra 1000. On échange donc cette barrette de 10 (que l'on replace à la banque) contre un cube de 1000. Cube que l'on place bien en haut du tapis. 

On fait la même chose avec les trois autres barrettes de 10. On obtient donc quatre cubes de 1000. Résultat : 100 X 45 = 4500. Remarqué que l'on souligne toujours les zéros sans donner d'explication à l'enfant. On veut que l'enfant découvre la règle par lui-même. 

L'enfant fait ainsi quelques multiplications par 100.

On note au fur et à mesure nos équations et résultats sur la même page ou le même tableau afin que l'enfant puisse bien voir et ainsi découvrir la règle. Et là, c'est magique à mes yeux! ;) Au bout de quelques équations, ma grande s'exclame 'Ah, mais je comprends!' avec des yeux brillants de fierté. ;) Et-là, elle se lance dans une explication spontanée au tableau en encerclant les chiffres du multiplicande qui reviennent dans le résultat, mais décalés de catégorie avec un ou deux zéros à la fin selon que l'on a fait une multiplication par 10 ou par 100 (J'ai dû refaire mon tableau pour la photo afin que vous voyez bien hihi!). Rapidement, elle a voulu faire aussi une multiplication par 1000. Je lui dis que c'est difficile avec le matériel puisque ça prend beaucoup de perles, mais qu'elle peut le faire directement sur le tableau. Je lui écris donc : '1000 X 22' et elle a trouvé tout de suite la réponse. 22 000. Mais, elle était bien embêtée pour lire ce nombre puisque nous n'en sommes pas-là. Mais, comme la pédagogie Montessori est toute pensée, évidemment, la prochaine présentation concerne le matériel des hiérarchies dont je vais vous parler dans un prochain billet. 

Ma grande a voulu tenter de faire une multiplication par 1000 avec le matériel. J'ai donc proposé une petite multiplication afin de ne pas manquer de perles. ;) 1000 X 15 = 15 000. Cela devançait un peu la présentation des hiérarchies (je devais vite terminer la fabrication de ce matériel, ça devenait clairement urgent ;), mais je suivais son enthousiasme. Donc, 5 unités X 1000 = 5000 (5 cubes de mille) et 1 dizaine X 1000 = 10 000. J'ai donc montré comment fabriquer un 10 000 avec dix cubes de mille que j'ai placé en rang (en fait, je manquais de cubes de 1000, mais j'en aie fabriqué en empilant dix plaquettes de 100. Ma fille étant parfaitement habituée de manipuler les perles, elle suivait très bien ;). 

Je me suis mise à lui parler que je vais prochainement fabriquer le matériel pour voir les nombres au-dessus de 9999. Comme elle avait devant elle un 10 000 que nous venions de fabriquer avec les cubes de 1000, elle a pu voir que ça fait très grand. Je lui aie dit que le matériel que je vais fabriquer sera cependant deux fois plus petit que cela parce que, si on gardait la même proportion, se serait trop gros. Évidemment, cela a piqué sa curiosité. Pour le plaisir, on s'est mise à tenter de se représenter la grandeur réelle du matériel des hiérarchies si on gardait les mêmes proportions. Pour la plaquette de 100 000, j'ai gardé la barrette de 10 000 que nous venions de faire. À cela, j'ai ajouté des barres de 1m (j'ai donc prise la plus grande des barres rouges et bleus et la plus grande des barres rouges. En effet, si on suivrait les proportions du matériel des perles, la plaquette de 100 000 devrait mesurer 1m X 1m. Très très encombrant dans une petite classe. ;) 

Finalement, pour lui donner une idée de grandeur du cube du million si on gardait les mêmes proportions que le matériel des perles, j'ai placé une barre de 1m sur la hauteur (voir la photo ci-dessous) pour montrer la hauteur du cube.

Comme je sais que ma grande a une très bonne capacité pour se visualiser les choses en 3D, cela lui était déjà très représentatif. J'ai finalement fait constater à ma grande que ce cube du million ne pourrait même pas passer par le cadre de porte de la salle de classe. Elle a tenté de passer une barre rouge à l'horizontale et, effectivement, ça bloque. Comme cette barre est environ la largeur de ces bras ouvert, j'ai ouvert grand mes bras et j'ai rigolé en montrant que je ne pouvais pas passer comme ça. Bref, tout cela pour expliquer à ma grande que j'allais fabriquer le matériel des hiérarchies en diminuant de moitié les dimensions habituelles. Parce que, comme je lui aie dit en rigolant bloqué dans le cadre de porte par mes bras ouverts, : 'Où, on va mettre le million?'. S'en ait suivi une séance de rigolade mémorable avec mes deux filles qui scandaient : 'Où, on va mettre le million?'.

Oui, cette séance a marqué à vie! Que du bonheur, de la bonne humeur et de l'enthousiasme.

Pour votre curiosité avant que j'en parle davantage, voici donc une photo du matériel des hiérarchies que j'ai fabriqué en carton. La présentation des Grandes hiérarchies suit donc la multiplication X10, X100, X1000.