Mémorisation de la multiplication

Bon, je m'attelle à la présentation des étapes de la mémorisation de la multiplication. Ces étapes peuvent être présentées dès que l'enfant a commencé à travailler la multiplication avec les perles dorées. 

Noter que toutes ces activités ont notamment pour but que l'enfant apprenne ces tables de multiplication, mais surtout qu'il les comprenne. En effet, avec les différentes activités Montessori, l'enfant n'apprend pas bêtement par coeur les tables de multiplication, il les comprend. Ainsi, en cas d'oubli, il peut facilement retrouver le résultat, car il comprend les tables de multiplication. 

1ère étape : Multiplication avec la table perforée. 

Pour cette 1ère étape, on utilise la Table perforée que l'on aperçoit sur la photo ci-dessous. Cette présentation est très visuelle et permet donc de bien comprendre la multiplication. En effet, on remarque, avec la disposition des perles sur la table perforée, que lors d'une multiplication, le même nombre est répété. La manipulation et le visuel de cette table permet à l'enfant de comprendre que faire une multiplication, c'est mettre autant de fois le même nombre (ici, le même nombre de perles).  

Les chiffres en haut représentent la colonne des multiplicateurs. Le multiplicateur représente le nombre de fois que l'on multiplie le multiplicande. À gauche de la table, on trouve une petite encoche dans laquelle on glisse le chiffre qui correspond au multiplicande. 

On commence en prenant une fiche du carnet de multiplication. Ces fiches sont téléchargeables ici, ici, et ici. (lorsque j'ai voulu prendre les photos pour ce billet, je ne trouvais plus mes fiches des tables de la multiplication... donc sur la photo ci-dessous, j'ai écrit à la main la fiche de la Table de 5 ;).  

Pour la présentation, il est préférable de commencer par un chiffre médian (ni trop petit ni trop gros). Prenons 5. On glisse le morceau de bois écrit 5 dans la petite encoche à gauche de la table perforée (c'est notre multiplicande... le nombre que l'on veut multiplier). On lit la première multiplication écrite sur la fiche de la Table de 5 : «1X5 =». On place le jeton rouge au-dessus du 1 (le multiplicateur). On place alors 5 perles rouges dans les trous de la colonne du 1. On compte le nombre de perles que cela fait. On a 5 perles. 1X5 = 5. On peut aussi dire «5 prit 1 fois», «une fois le 5». L'enfant note dans son carnet cette multiplication. 

L'important, c'est de bien noter que l'on effectue 1X5 (on écrit et dit le multiplicateur en premier), donc que l'on prend 1 fois 5 perles. Il est important de le dire dans cet ordre. En effet, 5X1 (même si cela donne le même résultat) n'est pas la même chose que 1X5. Si je veux multiplier des pommes, par exemple... aller chercher 5 fois une pomme, ce n'est pas la même chose que d'aller chercher 1 fois 5 pommes (il y a moins de déplacement à faire dans le deuxième cas). Hihi! 

Ensuite, on poursuit avec la deuxième multiplication de la fiche : 2X5 =. On place le jeton rouge au-dessus du 2 et on ajoute 5 perles dans la colonne du 2. On compte alors le nombre de perles pour trouver le résultat. Par contre, on ne commence pas à compter à partir de 1, mais bien à partir du résultat précédent (5). On pointe la dernière perle du calcul précédent en disant 5 (l'enfant l'a noté dans son carnet, alors il s'en souvient ou le voit) et on compte la 2e rangée de perles : 6, 7, 8, 9, 10. On dit alors «2 X 5 = 10». Toujours, l'enfant note cette multiplication dans son carnet. 

L'enfant continu la Table de 5 seul de cette façon. Lorsqu'il arrive à 5X5, on lui fait remarquer le carré que les perles forment sur la table perforée. 

Et voici à quoi ressemble la table perforée à la fin de la table de 5 (qui se termine par 10X5 =)

À la fin d'une table, l'enfant vérifie ses calculs avec la table de contrôle de la multiplication.

La table de contrôle est téléchargeable ici. 

Un autre jour, il choisit une autre Table. Etc, jusqu'à ce qu'il ait fait et noté toutes les Tables (de 1 à 10). 

Lorsque l'enfant calcul 2X2, 3X3, 4X4, 5X5, 6X6, 7X7, 8X8, 9X9, on lui fait remarquer le carré que les perles forment sur la table perforée. 

2e étape : Commutativité de la multiplication

Pour faire prendre conscience de la commutativité de la multiplication, on procède comme nous l'avons fait lors de l'étape 3 de la mémorisation de l'addition. On montre donc à l'enfant que, comme pour le tableau de l'addition, on peut simplifier celui de la multiplication. Pour se faire, on l'invite à chercher les résultats qui se répètent. Exemple : 2X1 = 2 et 1X2 = 2. C'est le même résultat, mais les termes ont été inversés. On a donc seulement à retenir une des deux combinaisons. On explique à l'enfant que l'on garde les équations dont le premier chiffre (le multiplicateur) est le plus petit. Donc ici, on garde 1X2. On place alors un papier jaune sur 2X1 pour signifier qu'on l'enlève du tableau. 

On poursuit ainsi afin de trouver toutes les multiplications redondantes. La photo ci-dessus montre le résultat final. 

L'enfant constate qu'il y a moins de résultat à mémoriser qu'il lui paraissait au départ puisque la multiplication est commutative (comme l'addition). Même si on change l'ordre des termes de la multiplication, le résultat reste le même. Yé!;)

On sort alors la table de contrôle simplifiée où toutes les multiplications redondantes ont été enlevées. 

Vous pouvez télécharger ce tableau ici. 

3e étape : Table des doigts renseignée. 

Pour cette 3e étape, l'enfant utilise la Table des doigts renseignée. L'utilisation des tables des doigts commencent à être familière à l'enfant puisqu'il a travaillé avec des tables des doigts pour la mémorisation de l'addition et de la soustraction. Elles ne sont pas toutes pareilles, mais le fonctionnement se ressemble. 

Note : Les tables pour la multiplication (ainsi que les billets à piocher) proviennent du document Matériel Montessori à faire soi-même du site L'école vivante.  

Pour cette étape, l'enfant utilise des combinaisons à piocher. Voir le billet 2X3 sur la photo ci-dessus en haut de la Table des doigts renseignée, ainsi que la boîte en bois où les autres sont rangées. 

Pour la présentation, on pioche une combinaison. Exemple : 2X3. On pointe avec notre index droit le chiffre 2 bleu en haut et avec notre index gauche le chiffre rouge X3 sur le côté gauche. 

On descend notre index droit et on tasse notre index gauche vers la droite jusqu'à ce que nos index se croisent. Ici, ils se croisent sur la case 6. On dit alors «2X3 = 6» et l'enfant note cette équation dans son carnet. Il pioche alors une autre combinaison d'une multiplication à effectuer. Il fait ainsi quelques combinaisons et poursuivra son travail sur quelques jours. Les combinaisons qui sont déjà calculées sont attachées ensemble avec un élastique (voir sur la photo ci-dessus à côté du petit coffre en bois). Cette étape se termine lorsque l'enfant a effectué toutes les combinaisons une fois. 

4e étape : Table des doigts renseignée simplifiée

Encore pour cette étape, l'enfant va piocher les combinaisons à effectuer. Cette fois, la Table des doigts a été simplifiée pour enlever les équations redondantes (un peu comme on a fait à l'étape 2 avec la table de contrôle). 

Ici, je montre comment trouver le résultat de 4X7. Si l'enfant pioche 7X4, il doit inverser les chiffres dans sa tête afin de trouver le résultat sur cette table (rappelez-vous, à l'étape 2, l'enfant a appris que la multiplication est commutative... on a donc gardé que les multiplications avec le plus petit chiffre en premier). Donc ici, je veux trouver le résultat de 4X7. Je place mon index sur le 4 rouge à gauche,...

... je glisse mon index jusqu'au bout de cette rangée...

... et je descends mon index jusqu'à la rangée des X7. On pointe alors le résultat de 4X7 = 28. Vous visualisez bien le mouvement? 

5e étape : Table des doigts non renseignée ou muette

Pour cette étape, l'enfant pioche encore des combinaisons, mais cette fois, il devra remplir lui-même la table puisqu'elle est vide. Donc, pour la combinaison 3X4. Il trouve dans sa tête que cela fait 12. Il place alors la petite étiquette 12 à la jonction de 3 (en haut) X4 (à gauche) sur la table. 

L'enfant pige une autre combinaison. Ici, 5X2. L'enfant trouve dans sa tête que cela fait 10. Il trouve alors la petite étiquette 10 et la place au bon endroit sur la table. Si l'enfant ne se souvient plus d'un résultat, il peut le trouver avec la table des doigts renseignée. Après quelques combinaisons, il peut vérifier avec la table de contrôle ou avec la table des doigts renseignée. Mettez de la «gommette» afin que les étiquettes de résultat restent bien en place (mais afin de pouvoir les décoller lorsque la table muette sera remplie puisqu'elle servira à nouveau pour la prochaine étape). L'étape se termine donc quand la Table est pleine! 

6e étape : On fait l'inverse de l'étape 5. ;)


À l'étape 5, on piochait une combinaison. Puis, on trouvait le résultat et on plaçait alors l'étiquette de celui-ci au bon endroit sur la table muette.

À l'étape 6, on pige plutôt une étiquette de résultat. L'enfant doit trouver à quel endroit on peut mettre cette étiquette sur la table muette. Ici, on a pigé 48. Donc, on peut placer cette étiquette à la jonction de 8X6. L'enfant note 48 = 8x6 dans son carnet. On poursuit ainsi jusqu'à ce que la table muette soit pleine. 

7e étape :

Pour cette étape, l'enfant utilise encore la Table des doigts non renseignée. Il va chercher toutes les combinaisons qui ont le même résultat.

Exemple : Ici, tous les résultats 24 ont été placés sur la Table des doigts non renseignée. L'enfant note alors les équations qui correspondent à ces résultats (24 = 8x3 ; 24 = 6x4 ; 24 = 4x6 et 24 = 3x8) dans son carnet habituel.

L'enfant continue avec d'autres étiquettes de résultat. Ici, les résultats 12 et les résultats 40 ont été placés. L'enfant note toujours les équations correspondantes au fur et à mesure. Il se corrige également avec la Table de contrôle ou la Table des doigts renseignée. Cette étape se termine lorsque les étiquettes de résultats ont été tous placées. 

8e étape : Combinaisons spéciales à trous.

Comme pour la mémorisation de l'addition et de la soustraction, on termine ces étapes par la résolution de combinaisons spéciales. L'enfant doit trouver le ou les termes manquants dans les équations. 

Pour télécharger ces combinaisons, c'est ici.

Il existe d'autres activités Montessori que l'on utilise pour la mémorisation de la multiplication, notamment avec les perles dorées (chaînes de perles, table de Pythagore, etc). Je vous en parlerai dans un prochain billet afin que celui-ci ne soit pas trop long. ;)

Multiplication avec le grand boulier

Avant de faire des multiplications avec le grand boulier, l'enfant a fait des multiplications avec les perles dorées et avec les timbres. Il a aussi vu la multiplication X10, X100, X1000 et le matériel des grandes hiérarchies. Il est maintenant prêt pour la présentation du grand boulier. Jusqu'à présent, l'enfant travaillait avec le petit boulier. Maintenant qu'il a vu les grands nombres au-delà de 9999, il peut travailler avec le grand boulier qui va jusqu'aux millions. 

Comme c'est la première fois que l'enfant travaille avec le grand boulier, on procède à une présentation de ce boulier. La présentation ressemble à celle faites avec le petit boulier, mais en plus long puisque l'on va jusqu'aux millions. ;) 

Pour une explication détaillée de la présentation du grand boulier, je vous invite sur le blog de Family and Co. Elle a rédigé une belle présentation en photos dernièrement! Cela m'a été très utile! Merci à elle! ;)

Ma grande a adoré cette présentation où l'on ajoutait encore et encore des feuilles pour parvenir jusqu'à la fin des nombres du boulier. Remarquer qu'elle ne s'est pas contentée d'arrêter à 9 000 000. Elle a voulu aller au-delà du boulier! ;) Comme elle avait très bien compris le principe, elle n'a pas eu de mal à écrire 10 000 000, 20 000 000.... puis 100 000 000, 200 000 000, 300 000 000. Elle a dû arrêter-là par manque de feuille. hihi! Noter que cette feuille est faites pour le grand boulier, donc les lignes pour écrire les 10 000 000 (bleues) et les 100 000 000 (rouges) étaient inexistantes. Elle a pu me montrer (sans que je lui demande ;) qu'elle avait bien comprise le principe puisqu'elle a elle-même ajouté les lignes de couleurs manquantes. Elle était déçue de ne pas pouvoir continuer jusqu'aux milliards. hihi! Les grands nombres, ça fascine! ;) Pour avoir ces feuilles, c'est sur la Boutique de documents Montessori. 

Ma grande s'est ensuite pratiquée à former des grands nombres sur le boulier. J'écrivais un grand nombre sur un papier et elle le formait sur le boulier. 

Inversement, je formais un nombre sur le boulier et elle devait l'écrire sur un papier. Je lui demandais également de lire ces nombres. 

Une fois que la présentation du grand boulier est faites, on peut présenter à l'enfant comment faire une multiplication avec le grand boulier. Pour commencer, on présente à l'enfant des multiplications à un seul chiffre au multiplicateur. Plus tard, l'enfant verra les multiplications à deux chiffres au multiplicateur (exemple : 2345 X 24) avec le Damier, puis avec le grand boulier. 

Voici comment j'ai procédé étape par étape : 

1ère étape : 

À gauche de la feuille, on écrit la multiplication à effectuer. Ici : 4563 X 3. À droite de la feuille, l'enfant va décomposer cette multiplication. Sur la photo ci-dessus, on voit la première décomposition. On commence par les unités, donc on écrit 3 X 3.

L'enfant effectue cette multiplication sur le boulier. Sur la photo ci-dessus, j'ai bien séparé les trois paquets d'unités pour que vous voyez bien que l'on déplace trois fois trois unités vers la droite. 

Cela fait 9 unités, donc l'enfant écrit ce résultat sous la décomposition 3X3 sur la feuille (à droite). Il écrit également cette réponse sous la multiplication écrite à gauche (sur la rangée des unités évidemment). 

Après cette multiplication, on remet toutes les billes du boulier à gauche. Pour la première étape, on procède catégorie par catégorie en remettant toujours à zéro. 

On poursuit avec la prochaine décomposition qui est 3 X 60. Après l'avoir écrit à droite de la feuille,...

... on procède à cette multiplication sur le boulier. Donc ici, on veut effectuer 3 X 60, donc 6 dizaines prisent 3 fois. Sur la photo, je montre 6 dizaines prient une première fois. 

Ensuite, je veux prendre 6 dizaines une deuxième fois, mais il m'en reste que 4. Donc....

... on procède à un change. On échange les dix perles des dizaines contre une perle de centaine (l'enfant est déjà habitué à cette façon de faire le change avec le boulier... cela a été vu lors de l'addition dynamique avec le boulier. Notez le croisement des doigts. C'est pour bien montrer que l'on effectue ces deux déplacements en même temps. Cela évite d'oublier le change! ;)

Ensuite, on commence à compter après 4 (les 4 dizaines qu'on avait déjà compté). Donc, 5, 6. On obtient donc 2 perles des dizaines à droite. On a maintenant pris 2 fois 6 dizaines. 

Il faut donc déplacer encore une autre fois 6 dizaines pour faire 3X60. On obtient alors 8 dizaines à droite du boulier (et 1 centaine en raison du change). La réponse de 3 X 60 est donc 180.

L'enfant écrit alors cette réponse (180) sous la décomposition à droite. Il transcrit également ce résultat sous la multiplication à gauche sous le 9 (voir la photo ci-dessus). Ensuite, l'enfant écrit à droite la multiplication des centaines. 3 X 500. 

Il procède alors à ce calcul sur le boulier. On déplace 5 perles de cent une fois... 5 perles de cent deux fois...et oups! Il n'y a plus de perles de cent à gauche...

...donc on doit encore faire un change. On va ranger les 10 perles des centaines à gauche en échange d'une perle de 1000 que l'on déplace vers la droite.   

On peut ensuite compter les dernières 5 centaines manquantes pour faire 3 X 500. Le résultat apparaît sur le boulier = 1500

On note le résultat sous la décomposition à droite ainsi que sous le calcul à gauche. On peut ensuite décomposer la dernière multiplication à effectuer à droite : 3 X 4000

Après avoir remis encore le boulier à zéro, on procède à cette dernière multiplication. 4 milles une fois, 4 milles 2 fois... et oups, il ne reste que deux perles de mille à gauche et il m'en faut encore 4. 

Je déplace donc vers la droite les deux perles de 1000 restantes en comptant 1, 2...

... et j'échange les dix perles de 1000 contre une perle de 10 000 (donc les dix perles de 1000 sont déplacées à gauche et la perle de 10 000 est déplacée vers la droite)...

Et, je continue de compter ... 3, 4. (Rappelez-vous, j'avais compté 1, 2 perles vertes... il m'en manquait donc encore 2 autres pour que cela fasse 4). Difficile à expliquer par écrit parce que je dois tout décortiquer, mais en le faisant cela se fait rapidement et ce n'est donc pas mêlant (l'enfant compte 1, 2... change... 3-4). 

Le résultat de 3 X 4000 apparaît maintenant sur le boulier. L'enfant lit 12 000 sur le boulier...

Il va donc écrire 12 000 à droite sous la dernière décomposition ainsi qu'à gauche sous les autres résultats effectués précédemment. À gauche de la feuille, on voit les nombres que l'enfant devra additionner pour obtenir le résultat : 9 + 180 + 1500 + 12 000. 

L'enfant peut très bien faire cela par écrit et noter le résultat sur la feuille (13 689). 

Il peut ensuite se servir du boulier pour s'auto-corriger. Il effectue donc 9 ...

 + 180 ...

+ 1500 ... (ici, je n'aie pas collé tout de suite les 5 billes rouges à droite... cela afin de noter qu'il y avait déjà une bille rouge. On visualise donc ainsi le change). 

... + 12 000. Même chose ici : on voit bien sur la photo que les 2000 de 12 000 ont été ajouté à une perle de 1000 qui était déjà-là en raison d'un change que nous avons effectué.
Finalement, on peut lire le résultat de la multiplication  sur le boulier (4563 X 3=13 689). Ma grande aime aussi beaucoup vérifier ensuite son résultat avec une calculatrice. 

2e étape : 

Après une dizaine de multiplications comme la première étape, on peut présenter la 2e étape à l'enfant. 

Pour cette étape, l'enfant doit être bien avancé dans la mémorisation de la multiplication puisqu'il effectuera celle-ci dans sa tête. Ici, nous allons faire 6563 X 3. L'enfant décompose encore, à droite sur la feuille, les multiplications à effectuer. La première étant : 3 X 3 = 9. L'enfant note tout de suite la réponse sur sa feuille et déplace 9 perles d'unités (vertes) vers la droite (pas de photo ici, c'est exactement pareil que le début de la 1ère étape, d'autant que les unités à multiplier sont les mêmes ;).  

Pour cette étape, on ne remet pas le boulier à zéro, donc on laisse les perles ainsi et on poursuit avec la multiplication des dizaines. On décompose ensuite 3 X 60 qu'on écrit sur la feuille à droite. L'enfant connaît bien 3 X 6 = 18. Il connaît bien aussi la multiplication par 10. Il ne devrait donc pas avoir de difficulté à trouver que 3 X 60 = 180. Il note le résultat sur sa feuille et forme le résultat 180 sur le boulier. Voir la photo ci-dessus.

Ensuite, il écrit à droite la prochaine décomposition : 3 X 500. Il trouve le résultat dans sa tête (1500) et l'écrit à droite. Ne pas oublier d'écrire également les résultats à gauche.  

On déplace alors les perles du boulier pour former le nombre 1 500 (1 perle de mille verte et 5 perles de cent rouge). Sur la photo ci-dessus, je montre bien les 5 perles rouges des centaines que l'on ajoute à la perle des centaines déjà présente à droite (cela nous montre qu'il y a eu un change). 

Finalement, l'enfant écrit à droite la dernière décomposition (la multiplication des milliers) : 3 X 6000. Il écrit la réponse tout de suite (à droite et à gauche sur la feuille) puisqu'il connait la réponse (18 000).

On forme donc 18 000 sur le boulier (1 perle de 10 000 + 8 perles vertes des milliers à droite ; les 8 perles s'ajoutent à celle déjà présente qui dénote qu'il y a eu un change). 

Finalement, l'enfant effectue l'addition (à gauche) avec les résultats de chacune des décompositions effectuées pour faire cette multiplication. Résultat : 19 689. En regardant sur le boulier, si son calcul est exact, l'enfant devrait y lire 19 689. 

3e étape : 

Il s'agit de la dernière étape qui amène l'enfant vers l'abstraction complète (donc sur papier, sans le matériel).

Ici, la multiplication à effectuer est 3462 X 4. 

On demande à l'enfant d'effectuer la multiplication comme à l'étape 2. Ensuite, on mentionne à l'enfant qu'on va lui montrer une méthode plus rapide. On ré-écrit alors la multiplication à gauche (sous la première) (ici, 3462 X 4).

On commence par les unités, donc 4 X 2 = 8. L'enfant effectue le calcul dans sa tête, forme le résultat sur le boulier et écrit la réponse sur la ligne verte des unités. Rien de nouveau ici, car il n'y a pas de change.  

Ensuite, l'enfant effectue la multiplication des dizaines, donc 4 X 60 = 240. Il calcul toujours dans sa tête, puis forme le résultat 240 sur le boulier. Ici, on doit mettre en évidence la retenue 2. Pour ce faire, on la souligne en jaune dans la décomposition à droite. Ensuite, on va noter cette retenue sur notre équation à gauche. On dit à l'enfant «Je pose 4 et je retiens 2» en écrivant 4 sur la ligne du résultat des dizaines et 2 en haut à la ligne des centaines. Difficile à expliquer par écrit! Bref, l'enfant doit remarquer le change : sur le boulier, il voit les 2 perles rouges + à droite on souligne ce 2 en jaune + on écrit ce 2 (le change) en haut de notre équation de gauche sur la ligne rouge des centaines en disant «je retiens 2». 

Ici, j'ai montré à ma grande la façon de noter la retenue comme on l'apprend dans les écoles au Québec (donc en haut de l'équation, je note un petit 2 au-dessus des centaines). Dans le Guide Pédagogie Montessori Pas à Pas le calcul et les maths que j'utilise beaucoup (mes albums Montessori préférés), ils mettent plutôt la retenue complètement à part. 

On poursuit ensuite avec les centaines. 4 X 4 (centaines) = 16 centaines (1600) (calcul dans la tête). On note cette réponse sur le boulier. On rappelle à l'enfant qu'on a une retenue de 2 aux centaines. Donc, on doit dire «16 + 2=18».  Remarquez sur la photo ci-dessus, on voit bien les 2 perles rouges qui étaient déjà présentes (en raison du change précédent), et je dois en ajouter 6 autres. Même chose que tantôt : je souligne la retenue en jaune (1) à droite et je la note en haut de l'équation à gauche (sur la ligne des milliers). On dit «je pose 8 et je retiens 1»

On termine par les milliers : 4 X 3 milliers = 12 milliers (12 000). On rappelle à l'enfant la retenue de 1 mille. On dit alors «12 + 1 = 13. En déplaçant les perles du boulier vers la droite, on remarque bien ce 12 + 1 = 13 (on déplace 1 perle bleue des 10 000 et 2 perles vertes des milliers qui viennent s'ajouter à 1 perle verte des milliers qui était déjà à droite). Encore une fois, on dit à l'enfant «je pose 3 et je retiens 1». Comme il n'y a pas de 10 000 à multiplier, on peut tout de suite descendre ce 1 dans la colonne des 10 000 du résultat. 

Donc, la réponse est 13 848. C'est ce qui était déjà écrit en haut à gauche (premier calcul faites à la manière de l'étape 2) et c'est le nombre qu'on lit sur le boulier.

À présent, l'enfant peut faire ces multiplications directement (sans tout décomposer et sans boulier) en écrivant les changes.

Voilà! J'espère ne pas vous avoir perdu! hihi! C'est difficile à détailler par écrit parce qu'il faut tout décortiquer, tout détailler. En le faisant, cela s'enchaîne mieux que par écrit. ;) Je vous conseille donc de lire ce billet avec votre boulier pour faire les étapes au fur et à mesure. Ensuite, en refaisant tout cela par vous-même, vous allez voir que cela se fait très bien finalement! ;)

Après toutes ces étapes, nous pouvons montrer à l'enfant la multiplication à deux chiffres au multiplicateur avec le Damier. Je vous en parlerai prochainement. ;) Nous reviendrons ensuite au Grand Boulier pour encore faire des multiplications, mais, cette fois, avec deux chiffres au multiplicateur.