Cet article dort sur mon blogue depuis longtemps. Je ne prends plus le temps de l'alimenter, mais je note qu'il est encore consulté. Je vais donc publier les articles qui restaient en « brouillon » et qui me restaient à les relire et corriger. Je ne prendrai pas tout ce temps, mais je crois qu'il sera utile malgré les possibles petites coquilles qui pourraient rester.
Pour cet article, je vais vous parler des notions de divisibilité et des facteurs. En effet, pour trouver les facteurs d'un nombre, il est utile de bien connaître les critères de divisibilité. Je vous parlerai dans un autre article de la notion de multiple et de plus petit commun multiple puisque ces notions s'entrecoupent entre elles.
Pour le moment, nous allons faire découvrir à l'enfant les critères de divisibilité. Pour ce faire, nous allons utiliser notre beau vieux matériel des perles dorées. S'il y a bien un matériel qui suit l'enfant depuis les tout débuts, c'est bien le matériel des perles dorées. Dès la maternelle, ce matériel est utilisé et il revient chaque année pour de nombreuses notions. ;)
Pour commencer, nous voulons faire découvrir à l'enfant les critères de divisibilité par 2. Je prépare alors une feuille comme celle ci-dessous :
Nous écrivons une première division par 2 avec un grand nombre de votre choix : ici : 537.
L'enfant va donc chercher 537 avec les perles dorées qu'il place dans un grand plateau.
J'ai préparé deux plus petits plateaux pour le partage. Ici, je vous réfère à mon article sur la division avec les perles dorées puisque cette présentation doit avoir été faite au préalable avant de présenter la notion de divisibilité des nombres. Donc, sur la photo ci-dessus, le partage a commencé (pour diviser, nous commençons par la plus grande hiérarchie, donc ici, les centaines). Par contre, il me reste une centaine à partager en deux ; nous ne pouvons pas.
Nous échangeons donc la centaine restante contre 10 barrettes de 10. Maintenant, nous pouvons poursuivre le partage avec les barrettes de 10.
Voilà! Les barrettes de 10 ont été partagées, mais il reste encore une seule barrette de 10 dans le grand plateau. Je ne peux la partager ainsi.
Je vais donc la changer en 10 perles d'unités.
Le partage peut se poursuivre avec les unités.
Voici notre réponse : 268 (le résultat d'une division est ce que reçoit une unité, donc nous trouvons le résultat dans un des petits plateaux).
Par contre, pour cette présentation, ce qui nous intéresse, c'est le reste. Nous demandons à l'enfant : «est-ce qu'il y a un reste après cette division?» Ici, nous voyons qu'il nous reste une unité qui n'a pas pu être partagée.
Sur la feuille, j'écris donc «oui» sous le mot Reste (en haut à droite).
Nous retirons alors cette unité en demandant à l'enfant : «si j'enlève cette unité qui reste, mon nombre n'est plus 537, mais 536, n'est-ce pas?» «Mon opération devient donc 536 divisé par 2» (je note alors cette nouvelle division sous la première... voir la photo ci-dessous). Je demande alors à l'enfant s'il y a un reste. «Non, il n'y a pas de reste».
Cette fois, j'écris donc sur ma feuille «non» sous la colonne 'Reste'.
Nous continuons ainsi en enlevant encore une perle. Évidemment, ici, puisqu'il n'y avait plus de perle dans le bol des restes, j'ai dû en prendre une dans les petits plateaux. Mais si j'en prends une dans un des petits plateaux, je dois aussi en enlever une dans l'autre puisque la quantité entre les deux plateaux doit demeurer égale puisque diviser c'est partager en quantité égale. J'enlève donc une perle d'un plateau que je range à la banque et l'autre, je la place dans la petite coupelle des restes devant mes plateaux de partage.
Nous notons alors que notre opération devient 535 divisé par 2 et «oui» il y a un reste.
Nous enlevons encore une perle. Notre division devient 534 divisé par 2 (nous la notons sur la feuille à gauche) et nous notons «non» (sur la feuille à droite) il n'y a pas de reste.
Nous enlevons encore une perle. Donc, encore une fois, afin que les quantités dans les petits plateaux demeurent égales, nous prenons une perle dans chaque : une que je vais remettre à la banque (nous l'enlevons pour avoir une perle de moins) et l'autre que je place dans la coupelle des restes. Nous notons que notre opération est maintenant 533 divisé par 2 et «oui» il y a un reste.
On retire encore une perle. Nous obtenons la division : 532 divisé par 2. Nous notons «non» il n'y a pas de reste.
À présent, nous allons souligner le dernier chiffre des nombres qui se divise par 2, donc ceux où nous avons écrit «non» (les divisions qui n'ont pas de reste). Nous laissons l'enfant observer la feuille en lui demandant s'il remarque quelque chose de particulier. S'il a déjà vu la notion de pair-impair avec les jetons rouges, il devrait trouver. J'en avais parlé dans cet article des activités de ma puce (vers la fin) (j'ai regardé vite, vite ; la grande sensible en moi en encore tellement de difficulté à regarder ces photos d'archives avant la maladie où tout était doux et calme pour ma puce ;(.
Bref, il devrait remarquer que tous les chiffres soulignés sont pairs. J'énonce alors à ma grande : «donc, les nombres qui sont divisibles par 2 sont...». Elle complète en disant : «les nombres pairs».
L'enfant note alors sur une feuille la règle suivante : «un nombre est divisible par 2 lorsque le chiffre des unités est pair».
Nous pouvons ensuite lui proposer des nombres et nous lui demandons d'encercler ceux qui sont divisibles par 2, donc les nombres pairs, donc ceux qui se terminent par 0, 2, 4, 6, 8. ;)
Passons à la découverte des critères de la divisibilité par 5.
Sur le même principe, nous allons écrire l'opération sur une feuille. Ici : 327 divisé par 5. L'enfant va donc chercher les perles pour composer ce nombre.
Nous préparons alors 5 plateaux pour diviser par 5. Si vous manquez de plateau, prenez des cartons (je les ai pris verts parce que c'est la couleur des unités ;). Donc ici, nous voulons diviser par 5, mais nous n'avons que 2 centaines.
Nous allons donc les changer en 20 dizaines. À présent, nous pouvons commencer le partage avec les dizaines.
Voilà! Les dizaines sont partagées. Il reste encore 3 dizaines, mais nous ne pouvons les partager en 5. Nous allons donc faire un change.
Nous avons changé les 3 dizaines restantes contre 30 unités. Nous pouvons ensuite les partager.
Voici le partage terminé. Il nous reste 2 perles d'unité qui ne peuvent être partagées.
Nous notons donc sur la feuille que «oui» nous avons un reste.
Si j'enlève une perle, j'obtiens la division 236 divisé par 5 (je la note à gauche sur la feuille sous la première division) et «oui» il y a encore un reste. J'écris donc «oui» à droite sous la colonne 'Reste'.
J'enlève encore une perle, j'obtiens donc la division 235 divisé par 5. Cette fois, «non», il n'y a pas de reste. Je note ceci encore sur la feuille (voir la photo ci-dessus).
Je continue en enlevant une perle. Pour ce faire, j'ai dû enlever une perle dans chacun des cinq plateaux. Je range une des 5 perles à la banque. Il me reste donc 4 perles d'unités que je place dans la coupelle des restes devant les plateaux de partage. Je notre alors sur la feuille : «234 divisé par 5». «Oui», il y a un reste. Voir sur la feuille de la photo ci-dessus.
Si j'enlève encore une perle, j'obtiens la division : «233 divisé par 5». «Oui», il y a un reste.
Ainsi de suite jusqu'à ce que j'arrive à «230 divisé par 5». Ici, «non», il n'y a pas de reste. Voir sur la photo ci-dessus, toutes les étapes que j'ai notées au fur et à mesure.
Je souligne alors les 5 et les 0 à la fin des nombres. Nous laissons encore l'enfant trouver lui-même la règle en observant la feuille. Au besoin, aidez-le en lui posant des questions.
Il trouvera alors la règle qu'il écrira sur une feuille : «un nombre est divisible par 5 lorsque le chiffre des unités est 0 ou 5.
Comme par les critères de la divisibilité par 2, vous pouvez lui écrire des nombres sur une feuille et l'enfant doit encercler les nombres qui se divisent par 5, donc qui se terminent par 0 ou 5.
Puisque l'enfant s'est déjà exercé avec la multiplication par 10, 100, 1000, il est possible qu'il puisse déduire les critères de la divisibilité par 10 de lui-même sachant que la multiplication est l'inverse de la division. Au besoin, faites-lui découvrir avec les perles de la même façon que vous venez de le faire par les critères de la divisibilité par 2 et 5. Il trouvera et notera la règle : «un nombre est divisible par 10 lorsque le dernier chiffre est 0».
Nous allons maintenant lui faire découvrir les critères de la divisibilité par 3. Évidemment, ne faites pas ces présentations toutes la même journée ; allez-y graduellement.
Donc, comme habituellement, nous écrivons une première division sur la feuille (voir sur la photo ci-dessus). L'enfant va alors chercher les perles correspondantes : ici : 361.
Nous plaçons donc 3 plateaux pour diviser ce nombre par 3. Nous commençons le partage par les centaines, puis les dizaines. Il reste alors 1 perle d'unité que je place dans la coupelle des restes.
J'écris alors «oui» sous la colonne 'Reste' puisque nous avons un reste. Puis, comme précédemment, j'enlève une perle. J'obtiens alors la division «360 divisé par 3» que je note sur la feuille. Puis, j'écris «non» sous la colonne 'Reste', car il n'y a pas de reste.
J'enlève encore une perle. Ici, c'est particulier puisque je n'ai aucune perle des unités dans mes plateaux de partage. Je vais donc prendre une barrette de 10 dans chacun des plateaux que je vais changer en 10 perles d'unité. De ces 30 perles d'unité que j'obtiens, j'enlève alors 1 unité et je partage les autres perles entre les 3 plateaux.
À la fin du partage, il me restera deux perles. Je note alors la division que nous venons de faire «359 divisé par 3 ; une perle de moins que le 360 précédent). Puis, j'inscris «oui», nous avons un reste.
Je poursuis en enlevant une perle à chaque fois, en notant la division et en notant s'il y a un reste. Voir la feuille sur la photo ci-dessus. Je termine par «357 divisé par 3». «non», il n'y a pas de reste. Ici, en observant la feuille et les nombres qui n'ont pas de reste (donc qui sont divisibles par 3), l'enfant aura bien de la difficulté à trouver la règle.
Nous lui montrons donc la solution comme quelque chose d'incroyable. «Regarde, si j'additionne tous les chiffres de mon nombre qui n'a pas de reste, j'obtiens un nombre qui se divise par 3». En effet, pour 360 divisé par 3, j'additionne 3 + 6 + 0. J'obtiens 9 qui est divisible par 3. Même chose avec 357 : 3 + 5 + 7 = 15 ; 15 est divisible par 3. Magique!
L'enfant note alors cette nouvelle règle sur la feuille : «un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3».
Nous pouvons alors lui proposer un petit jeu avec de grands nombres. Il doit trouver si ces nombres sont divisibles par 3 ou non en additionnant les chiffres qui le composent. Voir la photo ci-dessus.
Vous pouvez mentionner à l'enfant que les critères de la divisibilité par 9 fonctionnent sur le même principe. Nous écrivons alors la règle : «un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9». Encore une fois, vous pouvez lui écrire des nombres dont il doit additionner les chiffres pour découvrir s'ils sont divisibles par 9.
Pour les critères de la divisibilité par 4, vous fonctionnez de la même façon avec les perles dorées.
À la fin des partages, vous obtiendrez une feuille comme celle ci-dessus. Ici, le nombre de départ était 218 et j'ai retiré une perle à chaque fois. Ici, pour trouver la règle, nous soulignons les deux derniers chiffres des nombres qui n'ont pas de reste (ici, 216 et 212). Nous faisons alors remarquer à l'enfant que les nombres soulignés sont divisibles par 4. Nous écrivons donc la règle : «un nombre est divisible par 4 lorsque les deux chiffres à la fin forment un nombre divisible par 4».
Voilà pour la notion de divisibilité! Ceci sera très utile afin d'aborder la notion de décomposition en facteurs et de facteurs premiers.
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