Grande division avec les éprouvettes

Je suis encore à tenter de publier mes articles « brouillon » qui traînent depuis longtemps. Bien souvent, il ne reste que la correction, mais, j'avoue, je manque de temps et d'énergie pour m'y replonger. Pfff... Ça n'a l'air de rien, mais c'est extrêmement long d'écrire des articles comme ceux-ci. Est-ce vraiment utile à certaines personnes? Est-ce que cela vaut tout ce travail? Je me le demande... ce qui n'aide pas à me donner l'énergie pour le faire parfois. ;) Bon, un peu de courage pour celui-ci... ;) Je vais relire rapidement. C'est ridicule de laisser dormir tout ces articles déjà rédigés par souci de manque de temps et d'énergie pour bien corriger le tout. Je pense que ça peut être utile même s'il restera peut-être quelques petites coquilles. 

Dans cet article, je vais vous présenter la première étape de la grande division (plus d'un chiffre au diviseur) avec le matériel des éprouvettes. Mais d'abord, l'enfant doit avoir réalisé des petites divisions avec un chiffre au diviseur avec ce matériel.  Dans un article précédent, j'avais détaillé les étapes 2 et 3. Pour les explications de l'étape 1 de la petite division, je vous dirige vers le Blogue de Marie-Hèlène ; Montessori avec les 6-12 : la petite division en éprouvette.

Grande division avec les éprouvettes (plus d'un chiffre au diviseur) : 

Étape 1 : 

Comme lors de l'étape 1 de la petite division avec les éprouvettes, nous posons l'opération horizontalement (c'est seulement à l'étape 2 et 3 que nous poserons la division verticalement comme nous le faisons lorsque nous effectuons le calcul sur papier sans matériel). Donc ici, nous allons diviser 7 234 536 par 234. J'écris les chiffres selon le code couleur bien connu de l'enfant (les unités sont en vert, donc les unités simples, les unités de mille et les unités de millions en vert ; les dizaines sont en bleu, donc les dizaines simples et les dizaines de mille en bleu ; les centaines sont en rouge, donc les centaines simples et les centaines de mille en rouge). 

Nous préparons le matériel comme sur la photo ci-dessus. Ici, le diviseur est de trois chiffres, donc je sors une planche de calcul rouge pour les centaines, une bleue pour les dizaines et une verte pour les unités. Si notre diviseur avait 2 chiffres, nous n'aurions pris que les planches bleues et vertes. Si le diviseur avait 4 chiffres, nous aurions ajouté une planche verte pour les unités de mille qui aurait été placé à gauche de la planche rouge des centaines. Bref, avec ce matériel, nous pouvons faire des divisions allant jusqu'à 4 chiffres au diviseur puisque nous avons 4 planches de calcul. 

L'enfant place alors les perles du dividende dans les bols de la bonne couleur : 7 234 536

Nous voulons diviser ce nombre par 234. Nous plaçons donc les quilles pour représenter ce diviseur : 2 quilles sur la planche rouge pour les 2 centaines, 3 quilles bleues sur la planche bleue pour les 3 dizaines et 4 quilles vertes sur la planche verte pour les 4 unités. 

Lorsque nous divisons, nous commençons par les plus grandes hiérarchies. Je descends donc le bol des perles des millions vis-à-vis la planche de calcul rouge. Comme nous l'avons vu avec la division à plus d'un chiffre au diviseur avec les perles dorées, puis avec les timbres, nous reparlons ici des centurions et des décurions. La planche rouge représente les centurions (donc 100 soldats), la bleue, les décurions (donc 10 soldats) et la verte, un seul légionnaire). Il faut donc se rappeler que si nous donnons une quantité X aux centurions, nous devons en donner 10 fois moins aux décurions et encore 10 fois moins aux légionnaires. 

Donc, ici, si je distribue des perles de millions aux centurions, je vais devoir aussi distribuer des perles de centaines de mille aux décurions (100 000, c'est 10 fois moins que 1 000 000). Je vais donc descendre le bol rouge des centaines de mille sous ma planche bleue (les décurions).

Et si je distribue des centaines de mille aux décurions, je vais devoir distribuer des dizaines de mille aux légionnaires (10 000, c'est 10 fois plus petit que 100 000). Je vais donc descendre le bol bleu des dizaines de mille sous la planche verte (les légionnaires).

Je vais donc commencer le partage. Je donne 2 perles vertes des millions, une à chaque centurion... mais lorsque j'arrive pour partager les perles rouges des centaines de mille, je constate que je n'en aie pas assez. Je n'ai que 2 centaines de mille ; je ne peux pas les partager entre les trois quilles bleues (les décurions). 

Je vais donc prendre une perle des millions que je vais changer en 10 perles rouges des centaines de mille. 

Je verse ces nouvelles perles rouges que je viens de changer dans le bol des centaines de mille. 

À présent, je peux donner une perle rouge des centaines de mille à chaque quille bleue. Par contre, je rencontre le même problème lorsque je souhaite partager les perles bleues des dizaines de mille. J'ai seulement 3 perles bleues des dizaines de mille ; je ne peux donc pas les partager entre les 4 quilles vertes. 

Encore une fois, je vais donc faire un change. Je prends une perle rouge des centaines de mille que je vais changer en 10 perles des dizaines de mille. 

J'ai à présent suffisamment de perles bleues des dizaines de mille pour les partager, 

Je reviens aux millions pour commencer un autre partage... donner à chaque quille une autre perle. Ici, pas de problème, j'ai pu partager une deuxième perle pour chaque quille sans devoir faire de change. Une perle verte de millions pour chaque quille rouge (centurions), puis une perle rouge des centaines de mille pour chaque quille bleue (décurions) et une perle bleue des dizaines de mille pour chaque quille verte (légionnaires). 

Je continue encore le partage... j'ai maintenant distribué 3 perles à chaque quille. 

Il n'y a plus de perles des millions. Je tourne le bol à l'envers en le replaçant en haut. 

Le résultat d'une division, c'est ce qu'a obtenu une seule unité après le partage. Je vais donc chercher la réponse sur la planche verte des légionnaires. Nous voyons que nous avons distribué 3 perles de dizaines de mille à chaque quille (chaque unité - chaque légionnaire).

J'écris donc 3 en bleu ; c'est le début de la réponse (le quotient). J'ai souligné les trois premiers chiffres, car ce sont ceux que nous partagions. À présent, il n'y a plus de million à partager, mais il reste encore des centaines de mille et des dizaines de mille.  

Je vais donc déplacer les bols des centaines de mille et des dizaines de mille vers la gauche. Le bol des centaines de mille se retrouve maintenant sous la planche rouge, le bol des dizaines de mille sous la planche bleue. Pour la planche verte, je descends la prochaine hiérarchie, donc le bol vert des unités de mille. Nous sommes prêts pour une nouvelle distribution. 

Par contre, ici, je ne peux donner une perle à chaque quille. Je peux donner une perle rouge des centaines de mille aux centurions, mais je ne peux pas donner une perle bleue des dizaines de mille (10 fois moins) aux décurions. Je n'ai qu'une perle bleue que je dois partager en 3... Impossible! 

Je vais donc faire un change ; échanger une perle rouge des centaines de mille contre 10 perles bleues des dizaines de mille. Mais en faisant cela, il n'y a plus assez de perles rouges des centaines de mille pour les partager (remarquez sur la photo ci-dessus sur la planche de calcul rouge, j'ai dû enlever une des perles rouges que j'avais distribuée). Je vais donc devoir changer également cette autre perle rouge puisqu'elle ne peut être partagée entre les deux quilles rouges. Donc, finalement, au total, je vais avoir changé les deux perles rouges des centaines de mille contre 20 perles bleues des dizaines de mille. 

Voilà! Constatez alors que je n'aie plus de perles rouges. Donc, finalement, je n'ai pu partager aucune perle rouge. 

Je vais donc écrire un 0 au résultat. Pourquoi en vert? Regardez la photo au-dessus de celle-ci... Le résultat de la division est ce qu'a obtenu chaque unité, donc on regarde le résultat sur la planche de calcul des unités. Il n'y en a pas, mais s'il n'y en avait eu qu'elle aurait été la couleur des perles? Verte puisque c'est un bol vert qui se situe en dessous de la planche de calcul verte présentement. ;) C'est parfaitement cohérent avec l'alternance des couleurs que nous devrions retrouver. Si l'enfant omettait d'écrire ce 0, il continuerait son calcul et écrirait le prochain chiffre de la réponse en rouge (voir la photo ci-dessous, vous verrez que le prochain bol sous la planche des unités est rouge). Mais alors cela ne respecterait pas l'ordre des couleurs... on ne peut voir ceci : 39. L'ordre des couleurs est toujours rouge-bleu-vert. Donc après le chiffre bleu, il doit y avoir un chiffre vert, notre 0 ici à ne pas oublier. Donc, les couleurs permettent un contrôle de l'erreur, d'où leur importance au début (tranquillement, un jour, l'enfant délaissera ces couleurs). J'espère que je suis claire? C'est toujours difficile d'expliquer en mot, mais pratiquez-vous en même temps de lire ceci, cela devrait aider. ;)

Donc voilà, puisque je n'ai plus de centaines de mille, je replace le bol en haut, mais à l'envers puisque nous avons terminé avec les centaines de mille. Nous déplaçons donc les bols du bas vers la gauche pour continuer le partage. Entre alors en jeu les centaines (le bol rouge avec le contour blanc) que l'on place sous la planche verte. 

Nous distribuons une perle à chaque quille. Par contre, pour le moment, on ne pourrait poursuivre en donnant une deuxième perle à chaque quille puisqu'il manque de perles vertes (il n'y en a qu'une pour partager en 3). 

On va donc changer une perle bleue des dizaines de mille et 10 perles vertes des unités de mille. 

Voilà! J'ai maintenant suffisamment de perles vertes pour continuer le partage. Par contre, je constate qu'il me manque des perles rouges des centaines. Nous allons donc devoir faire un autre change ; cette fois une perle verte des unités de mille contre 10 perles rouges des centaines. 

Voilà! La distribution peut continuer! Ici, chaque quille a maintenant 2 perles. 

Nous pouvons encore poursuivre : sur la photo ci-dessus, les quilles ont à présent 3 perles chacune. On poursuit encore le partage...

... mais oups! Il manque de perles rouges des centaines. Nous allons donc faire un change.

Voilà! J'ai changé la perle verte des unités de mille qu'il restait contre 10 perles rouges des centaines. Je peux donc donner une perle rouge à chaque quille verte maintenant. 

Il reste encore des perles bleues des dizaines de mille, donc je continue le partage. Je distribue les perles bleues et oups... il n'y a plus de perles vertes des unités de mille. Qu'à cela ne tienne, je vais faire un change. Je vais donc prendre une perle bleue en échange de 10 perles vertes. 

Voilà! Je peux maintenant donner des perles vertes aux quilles bleues (décurions). 

Je peux également donner une perle rouge des centaines pour chaque quille verte. 

Comme il reste encore des dizaines de mille... je peux encore continuer le partage en donnant une sixième perle à chaque quille. 

Il me reste encore des perles bleues des dizaines de mille, donc je continue à partager pour donner une septième perle à chaque quille. Par contre, lorsque j'arrive pour partager les perles rouges des centaines, je constate qu'il en manque. Nous allons donc faire...

...un change! ;) J'ai pris la perle verte des unités de mille que j'ai changé en 10 perles rouges des centaines. J'ai alors pu continuer le partage en donnant une perle rouge à chaque quille verte. 

Il reste encore des perles bleues des dizaines de mille, donc nous continuons le partage. Par contre, il n'y a plus de perles vertes des unités de mille. Ce n'est pas grave...

... nous allons faire un change. ;) Donc une perle bleue des dizaines de mille contre 10 perles vertes des unités de mille. Nous pouvons poursuivre le partage. 

Voilà! Les quilles ont à présent 8 perles chacune. Il reste ENCORE des perles bleues des dizaines de mille. Décidément, je n'ai pas choisi le nombre le plus court. ;) On retient mieux avec la répétition, donc après tout cela vous devriez avoir bien retenu la leçon. Hihi! 

Donc, voilà, on continue le partage, mais je constate qu'il me manque des perles rouges. On fait quoi? ;)

On change une perle verte des unités de mille contre 10 perles rouges des centaines. Isshhh! Je me sens comme un perroquet-là. ;)

Bon! Les quilles ont chacune 9 perles. La bonne nouvelle est qu'il est donc impossible de continuer la distribution! Yé!!!! Hihi! En effet, cela ne serait pas logique... on ne peut pas donner plus de 9 perles à chaque quille ou alors c'est qu'on a fait une erreur quelque part. ;) 

Donc voilà, j'écris 9 au quotient de cette division (le résultat ;). Je l'écris en rouge parce que c'est la couleur des perles sur la planche de calcul verte qui représente les légionnaires (les quilles vertes), donc une unité. J'espère que vous me suivez grâce aux images parce qu'il est facile de s'emmêler les pinceaux en lisant cela... et pourtant, en le faisant, on constate que c'est simple comme tout... simplement à vouloir décortiquer et verbaliser tout cela, ça devient franchement mêlant. ;) 

Enfin! Il n'y a plus de perles bleues des dizaines de mille, donc je retourne le bol bleu (avec un contour gris) à l'envers que je place en haut parce que nous avons terminé avec celui-ci. 

Nous déplaçons vers la gauche les bols sous les planches de calcul et nous descendons le bol bleu des dizaines sous la planche verte. 

Évidemment, je range toutes les perles qui étaient sur les planches. Nous avons obtenu le chiffre des centaines de notre résultat, nous allons commencer une nouvelle distribution pour obtenir le chiffre des dizaines de notre résultat. 

Nous commençons donc le partage, mais oups... nous manquons de dizaines. 

Nous allons donc changer une centaine contre 10 dizaines. 

Le partage peut se poursuivre. Chaque quille a maintenant reçu une perle chacune. 

Il ne reste qu'une perle des unités de mille ; je ne peux donc pas la partager entre les deux quilles rouges. 

Je vais donc changer cette perle verte des unités de mille restantes en 10 perles rouges des centaines.  

À présent, je n'ai plus de perles vertes. Le partage est donc terminé. Il aura été moins long celui-là. ;) 

Je note alors le résultat de ce partage : j'ai donné 1 perle bleue à chaque légionnaire (chaque unité - chaque quille verte). 

Nous retournons donc le bol des unités de mille et le plaçons en haut puisque nous avons terminé avec celui-là. Nous décalons les bols du bas vers la gauche. Nous descendons le bol vert des unités. Nous sommes prêts pour un autre partage ; le dernier cette fois puisque les unités viennent d'entrer en jeu. ;)

Sur la photo ci-dessus, nous venons de distribuer une perle à chacune des quilles. 

Il reste encore des perles rouges des centaines, donc nous continuons le partage, mais oups... il manque de perles vertes des unités...

Qu'à cela ne tienne, le change vient à la rescousse! ;) Nous changeons donc une perle bleue des dizaines contre 10 perles vertes des unités. ;) 

Le partage se poursuit. Nous avons maintenant distribué 2 perles à chaque quille. 

Nous poursuivons puisqu'il reste encore des perles rouges. Mais oups... il manque de perles bleues pour partager entre les 3 quilles bleues. 

On effectue donc un change : une perle de centaine rouge contre 10 perles des dizaines bleues. 

Le partage se poursuit...

... et encore...

Nous poursuivons encore, mais oups... il manque de perles vertes des unités...

Nous changeons donc une perle bleue des dizaines contre une perle verte des unités. 

Le partage se poursuit... 

Ici, ce sont des perles bleues des dizaines qui manquaient pour continuer le partage. Je change donc une perle rouge des centaines contre une perle bleue des dizaines. 

Voilà! Les quilles ont à présent reçu 6 perles chacune. 

Je voudrais bien poursuivre, mais il ne reste qu'une perle rouge. La division s'arrête donc-là. Déjà!!!!!! ;) Vous ne me croyez pas? ;) 

Bah oui! Regardez... si je voulais poursuivre, je changerais ma perle rouge des centaines restantes en 10 perles bleues des dizaines. Je retournerais le bol des centaines que je placerais en haut. Je décalerais les bols du bas vers la gauche et je descendrais... je descendrais quoi? Il n'y a plus rien après les unités... bah si! Il y a les nombres décimaux, mais ici, nous n'en tenons pas compte, donc il n'y a rien. ;) Nous ne pourrions rien donner à nos légionnaires et c'est pourtant-là que nous lisons la réponse... nos légionnaires ne recevraient que des miettes rendues-là et je n'ai pas de miettes de perles... Ok! Assez délirer! ;) 

J'ai donc donné 6 perles vertes à mes légionnaires, donc j'écris 6 à mon résultat. Voilà donc le quotient de cette division. 

Il me reste 1 perle rouge des centaines, 9 perles bleues des dizaines et 2 perles vertes des unités. Cela paraît beaucoup, mais notre diviseur était de 234, c'est donc tout à fait possible (le reste est effectivement plus petit que le diviseur). Ouf! ;) 

Voilà pour l'étape 1 de la Grande division en éprouvette!  Désolé pour le délire, je crois que je commence à être fatiguée. Hihi! Cela fait plusieurs soirs que je travaille sur des présentations de matériels pour mon blogue, je crois que j'ai besoin d'une pause. ;)

Note : Message écrit il y a plusieurs mois déjà et article toujours pas publié après tout ce temps. Pffff.... Je viens de me relire et j'avoue, avec les yeux un peu 'dans la graisse de bine' (Haha! Je sens que je viens de perdre bien des Français là!!! ;). Ça veut dire que je vois flou... bref, ma concentration n'est pas au top... j'espère avoir malgré tout pas trop laissé d'erreurs derrière, mais là, il est plus que temps que je publie cet article avant que mes filles soient adultes. ;) 

L'étape 2 de la Grande division en éprouvette consiste à poser la division verticalement. Bref, à cette étape, nous n'écrivons plus la division horizontalement, mais verticalement, comme nous le faisons lorsque nous calculons une division à la main.

Ensuite, pour l'étape 3, l'enfant fera d'autres divisions avec les éprouvettes, mais apprendra cette fois à noter au fur et à mesure les résultats intermédiaires. Il s'agit d'une étape de plus vers l'abstraction. L'enfant écrira tous les résultats intermédiaires comme nous devons le faire lorsque nous calculons à la main, mais se servira du matériel en parallèle. Bref, pour la grande division, vous reprenez les mêmes étapes que pour la petite division. Vous pouvez donc vous référer à mon article sur la petite division. 

Pour cette dernière étape vers l'abstraction, je vous laisse avec ces vidéos qui sauront davantage claires que mes explications en photos. ;)  Note : cette étape de plus vers l'abstraction devra avoir été montrée également lors de la présentation de la Petite division en éprouvette (étape 2), donc lorsqu'il n'y a qu'un seul chiffre au diviseur - ce que je vous aie détaillé dans un article précédent. 

https://www.youtube.com/watch?time_continue=281&v=KjqjQ85pkTY
https://www.youtube.com/watch?v=NQ8xtZpanQE