Note : Un autre article qui dormait en « brouillon» sur mon blogue. Comme il ne restait qu'à corriger ; je le publie afin qu'il puisse servir malgré ces possibles coquilles.
Il y a quelque temps, je vous avais détaillé l'introduction des fractions.
Après avoir très longuement avec les fractions comme je l'expliquais dans mon premier article sur cette notion, l'enfant peut commencer tranquillement à réaliser des opérations sur les fractions.
Nous commençons par l'addition de deux fractions qui ont le même dénominateur.
Nous présentons l'addition de cette façon à l'enfant. Sur la photo ci-dessus, nous voyons que nous allons additionner 1 quart et 3 quarts. On place le signe + entre 1/4 et 3/4.
Nous demandons à l'enfant de sortir les parties de cercles fractionnés qui correspondent à ces fractions. Donc ici, il place 1 quart de cercle au-dessus de la fraction 1/4 et 3 quarts de cercle au-dessus de la fraction 3/4.
Nous plaçons le signe = après les deux fractions que nous voulons additionner. On mentionne : «additionner, c'est mettre ensemble» (phrase qu'il a déjà bien souvent entendue à chaque fois que nous lui montrions une addition avec différents matériels). Bref, il pourra le dire lui-même lorsque vous lui demanderez : «additionner, c'est...?». En même temps de dire 'additionner, c'est mettre ensemble», nous déplaçons à droite tous les quarts de cercle de notre opération (voir photo ci-dessus).
Nous demandons à l'enfant : «à quelle famille appartiennent les sections de cercle?». C'est la famille des quarts. Nous plaçons donc un 4 sous la barre noire ; c'est le dénominateur. Puis, nous demandons : «combien y a-t-il de quarts?». «4». Nous plaçons donc une étiquette 4 au-dessus de la barre noire ; c'est le numérateur. La réponse de 1/4 + 3/4 est donc 4/4.
De la même façon, nous effectuons une autre addition. Ici : 3/6 + 3/6. Au-dessus des étiquettes de fractions, l'enfant place les sections de cercle qui correspondent à ces fractions. Donc, 3 parts du cercle des sixièmes à gauche et 3 parts du cercle des sixièmes à droite (voir photo ci-dessus).
«Additionner, c'est mettre ensemble». Donc, nous déplaçons toutes les sections de cercle à droite. Nous plaçons un 6 sous la barre noire puisque nous effectuons une addition avec la famille des sixièmes. Puis, nous plaçons une 6 en haut de la barre noire, car nous avons 6 sections de la famille des sixièmes. La réponse à 3/6 + 3/6 = 6/6.
Cette deuxième addition a été placée sous la première. Le but est que l'enfant parvienne à déduire lui-même la règle en observant. Ici, nous avions des additions dont la somme avait le même chiffre au numérateur et au dénominateur.
Nous allons faire une troisième addition : 2/5 + 1/5. Nous obtenons 3/5. Nous plaçons encore une fois cette addition sous les deux premières.
Pour amener l'enfant à découvrir la règle lorsque nous additionnons des fractions qui ont le même dénominateur, nous lui demandons : «que remarques-tu au dénominateur après l'addition?». «Il reste le même». Ensuite, nous lui demandons : «que remarques-tu au numérateur après l'addition?» «les deux numérateurs ont été additionnés».
Sur une affiche, nous allons alors écrire la règle qui a été trouvée : Pour additionner deux fractions qui ont le même dénominateur, nous gardons le même dénominateur et nous additionnons les numérateurs. Sous cette règle, vous écrivez également un exemple ; une des trois additions de fraction que nous venons de faire (exemple : 2/5 + 1/5 = 3/5).
Nous plaçons les étiquettes de la fraction de départ ; ici : 4/6.
Nous demandons à l'enfant de placer les sections de cercle qui correspondent au-dessus de cette fraction. Donc, ici, l'enfant place 4 sections du cercle des sixièmes.
Nous plaçons ensuite les étiquettes de la fraction que nous voulons soustraire après le signe -. Ici : 3/6.
Soustraire, c'est enlever. Donc ici, nous voulons enlever 3/6 à notre nombre de départ qui est 4/6. Nous allons donc prendre 3 sections de notre fraction 4/6 qui se trouve à gauche et nous allons les placer au-dessus de la fraction 3/6. Ainsi, nous avons enlevé 3/6 à 4/6.
Nous plaçons alors le signe = à droite des deux fractions. Le résultat d'une soustraction est ce qui reste de notre nombre de départ. Je vais donc prendre la section de cercle qui reste au-dessus de la fraction 4/6 et je vais la déplacer après (à sa droite) le signe =. Nous demandons à l'enfant : «à quelle famille appartiennent les sections de cercle?» «La famille des sixièmes». Nous plaçons donc un 6 sous la barre noire à droite. Puis, nous demandons : «combien y a-t-il de sixièmes après la soustraction?» «1». Nous plaçons donc l'étiquette 1 au-dessus de la barre noire à droite. Nous obtenons le résultat de la fraction : 1/6.
De la même façon, nous allons effectuer une autre soustraction. Ici, notre nombre de départ sera : 4/5. Nous plaçons donc 4 sections du cercle des cinquièmes au-dessus de cette fraction.
Nous plaçons le signe -, puis nous plaçons les étiquettes du nombre à soustraire : ici : 2/5. Nous allons donc prendre 2 sections de notre fraction de départ (à gauche) et les placer au-dessus du 2/5 (en effet, nous enlevons 2/5 à 4/5).
La réponse est ce qui reste à mon nombre de départ, donc nous avons pris ce qui restait au-dessus du 4/5 pour le mettre à droite du signe =. Nous comptons le nombre de sections de cercle de cinquième que nous avons : 2. La différence entre 5/5 et 2/5 est donc 2/5.
Comme nous l'avons fait pour l'addition, nous allons questionner l'enfant afin qu'il observe ces fractions et qu'il en déduise par lui-même la règle de la soustraction avec des fractions qui ont le même dénominateur. Nous allons lui demander : «que remarques-tu au dénominateur après l'addition?». «Il reste le même». Ensuite, nous lui demandons : «que remarques-tu au numérateur après la soustraction?» «les deux numérateurs ont été soustraits».
Sur la même affiche que précédemment, nous allons alors écrire la règle qui a été trouvée : Pour soustraire deux fractions, qui ont le même dénominateur, nous gardons le même dénominateur et nous soustrayons les numérateurs. Sous cette règle, vous écrivez également un exemple ; une des soustractions de fraction que vous venez de réaliser (exemple : 4/5 - 2/5 = 2/5).
À présent, nous allons voir comment additionner et soustraire des fractions qui ont des dénominateurs différents.
Mais avant de présenter cela à l'enfant, il est important qu'il ait travaillé énormément sur les équivalences afin que cela lui paraisse simple.
Ce travail avait déjà été amorcé lors de l'introduction aux fractions. Voir mon article précédent sur les fractions.
Puisque cette notion doit être 'solide', nous allons encore travailler cette notion longuement avant de montrer comment effectuer des additions et des soustractions dont le dénominateur est différent.
Voici des façons de travailler encore sur les équivalences :
Nous prenons un support d'un des cercles de fraction. Ici, j'ai pris celui des tiers. Nous enlevons une section du support.
L'enfant doit alors trouver par quelles sections identiques de fraction peut-il combler le vide. Ici, j'ai placé 2 sections de la famille des sixièmes.
Nous pouvons donc écrire ceci (photo ci-dessus) : 1/3 = 2/6.
Nous essayons ensuite avec d'autres sections identiques des autres cercles de fraction. Ici, j'ai placé 3 sections du cercle de la famille des neuvièmes.
Donc 1/3 égale aussi 3/9. Puisque les cercles de fraction arrêtent à 10, je ne peux plus continuer.
Je continue l'exercice avec un autre support de cercle. Ici, j'ai pris le support des demis. J'ai alors enlevé une section, donc 1/2 et j'ai cherché des sections identiques des autres cercles de fraction qui pourraient combler l'espace vide. J'ai trouvé ici (photo ci-dessus) : 2/4.
Donc 1/2 = 2/4. Nous plaçons les étiquettes de cette façon sous les sections des fractions correspondantes (photo ci-dessus).
Nous continuons de la même façon à chercher des équivalences à 1/2 en essayant de combler l'espace vide laissé par la demie qui a été retirée. Ici, nous avons trouvé 3/6.
Donc 1/2 est égale aussi à 3/6.
En continuant, nous avons trouvé ici (photo ci-dessus) que 1/2 = 4/8.
Finalement, nous n'avons trouvé que 1/2 = 5/10.
Ici, encore, nous voulons que l'enfant trouve lui-même la règle qui permet de trouver des équivalences.
Pour ce faire, en observant une à une les équivalences trouvées précédemment, nous allons lui poser des questions. Exemple pour la première équivalence trouvée : 1/3 = 2/6, nous lui demandons : «par quoi a-t-on multiplié le 1 de 1/3 pour obtenir le 2 de 2/6?» «Nous l'avons multiplié par 2». Ensuite, nous lui demandons : «par quoi a-t-on multiplié le 3 de 1/3 pour obtenir le 6 de 1/6?». Encore une fois, «nous l'avons multiplié par 2». Nous procédons de la même façon avec toutes les autres équivalences que nous avons trouvées précédemment. Je ne vais pas toutes les montrer ici, mais en voici une autre (la dernière équivalence que nous avons trouvée) :
Donc sur la photo ci-dessus, nous avons 1/2 = 5/10.Donc, encore une fois, nous demandons à l'enfant : «par quoi a-t-on multiplié le 1 de 1/2 pour obtenir le 5 de 5/10?» «Nous l'avons multiplié par 5». Ensuite, nous lui demandons : «par quoi a-t-on multiplié le 2 de 1/2 pour obtenir le 10 de 5/10?». Encore une fois, «nous l'avons multiplié par 5».
À la fin de toutes ces questions pour chacune des équivalences trouvées, nous demandons à l'enfant : «que se passe-t-il lorsqu'on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre?» Il devrait répondre que nous obtenons une fraction équivalente. Au besoin, écrivez les multiplications identiques au numérateur et au dénominateur pour une des fractions équivalentes. L'enfant doit lui-même trouver la règle ; nous ne devons pas l'énoncer pour lui. Nous devons donc tout mettre en oeuvre afin qu'il trouve la règle par lui-même ; nous sommes ainsi assurés d'une meilleure compréhension et d'une meilleure rétention. Lorsque l'enfant a trouvé la règle, nous l'écrivons sur une affiche : pour obtenir des fractions équivalentes, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Cela ne change pas la valeur de la fraction.
Nous pouvons effectuer ce travail afin de trouver des équivalences, mais dans l'autre sens. Par exemple, sur la photo ci-dessus, nous voulions trouver une fraction équivalente à 5/10. Pour ce faire, nous avons enlevé 5 sections du cercle de la famille des dixièmes et nous avons tenté de trouver des sections équivalentes qui pouvaient combler l'espace vide. Nous avons trouvé : 1/2 (comme sur la photo ci-dessus). En observant cette équivalence, nous demandons à l'enfant : «par quoi a-t-on divisé le 5 de 5/10 pour obtenir le 1 de 1/2». «Nous l'avons divisé par 5». Puis nous demandons : «par quoi a-t-on divisé le 10 de 5/10 pour obtenir le 2 de 1/2». «Nous l'avons divisé par 5». Faites la même chose avec plusieurs autres équivalences. Vous pourrez ensuite demander : «que se passe-t-il lorsqu'on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre?» «Nous obtenons une fraction équivalente». Nous allons donc écrire cette nouvelle règle sous la précédente : pour obtenir des fractions équivalentes, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Cela ne change pas la valeur de la fraction.
Après un long travail sur les équivalences, si vous sentez l'enfant prêt, vous pouvez présenter l'addition de fractions ayant des dénominateurs différents.
Sur la photo ci-dessus, nous voulons additionner 1/3 et 3/6. Nous avons donc placé au-dessus de chacune de ces fractions les sections de cercle de fraction correspondantes. Donc 1 section du cercle de la famille des tiers au-dessus du 1/3 et 3 sections du cercle de la famille des sixièmes au-dessus du 3/6.
Additionner, c'est mettre ensemble, nous prenons donc la section 1/3 et la section 3/6 que nous mettons ensemble après le signe =. Pour bien visualiser, j'ai placé ces sections de cercle sur le support des sixièmes. Nous demandons alors à l'enfant comment s'appelle la fraction obtenue???? Il sera bien embêté pour répondre à cette question puisque nous avons des sections différentes dans le cercle. Nous lui demandons alors s'il voit une solution à ce problème? S'il ne trouve pas lui-même, vous pouvez lui demander : «crois-tu que tu pourrais changer le tiers par des sixièmes?»
La réponse est oui, nous pouvons changer le tiers en 2 sixièmes. Nous allons donc ranger la section 1/3 que nous remplaçons par 2 sixièmes.
Nous plaçons les 2 sixièmes que nous venons de changer avec les 3 sixièmes que nous avions déjà dans le cercle. Ceci représente le résultat de cette addition.
Donc, 1/3 + 3/6 = 5/6. Nous plaçons les étiquettes de la réponse à droite sous notre cercle avec les sections de sixièmes que nous avons mis ensemble, donc additionnées.
L'enfant fait ensuite d'autres additions de ce type où nous devons trouver un dénominateur commun à l'autre.
Par la suite, nous compliquons un peu les opérations.
Sur la photo ci-dessus, nous allons additionner 1/2 et 1/3,
Additionner, c'est mettre ensemble, donc nous avons placé la section 1/2 avec la section 1/3. Comme précédemment, nous demandons : comment s'appelle la fraction obtenue???? Encore une fois, il sera bien embêté pour répondre à cette question puisque nous avons des sections différentes dans le cercle. Nous lui demandons alors s'il voit une solution à ce problème? Comme précédemment, nous nous demandons si nous pouvons changer la demie par des tiers. Non! Nous ne pouvons pas non plus changer le tiers par une demie. Qu'allons-nous faire alors?
Nous expliquons alors à l'enfant que nous allons tenter de trouver des équivalences. Sur la photo ci-dessus, nous avons trouvé les équivalences à 1/2. Nous avons trouvé : 2/4, 3/6, 4/8 et 5/10.
Ensuite, sous les équivalences de 1/2, nous avons trouvé les équivalences de 1/3. Nous avons trouvé : 2/6 et 3/9. J'ai placé vis-à-vis les sections de fraction des sixièmes puisque ce sont les seules sections que 1/2 et 1/3 ont en commun.
Nous allons donc changer 1/2 en 3/6 et 1/3 en 2/6.
Nous plaçons alors 3/6 et 2/6 dans le cercle puisqu'additionner, c'est mettre ensemble. Nous voyons la somme dans le cercle ; 5/6. Nous plaçons donc les étiquettes de notre réponse sous le cercle. Donc, 1/2 + 1/3, c'est la même chose que 3/6 et 2/6. Nous pouvons additionner 3/6 + 2/ 6 ; nous obtenons 5/6. L'enfant s'exerce ainsi avec quelques additions de ce type.
Suite à ces exercices, l'enfant observe les différentes additions qu'il vient d'effectuer et tente de trouver la règle qui sera écrite, elle aussi, sur l'affiche : pour additionner des fractions ayant des dénominateurs différents, nous devons d'abord mettre les fractions au même dénominateur en trouvant des équivalences. Pensez à écrire un exemple de cette règle sur l'affiche également. Exemple : 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Vous passerez par les mêmes étapes pour trouver la règle de la soustraction de fractions ayant des dénominateurs différents. Je n'explique pas toutes les étapes ici puisque ce sont exactement les mêmes que pour l'addition, mais avec des fractions que nous soustrayons. À la fin, vous écrirez également la règle suivante : pour soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, nous devons d'abord mettre les fractions au même dénominateur en trouvant des équivalences. Comme habituellement, nous écrivons également un exemple : 5/8 - 1/4 = 5/8 - 2/8 = 3/8.
Finalement, voici comment multiplier une fraction par un entier.
La photo ci-dessus montre que nous allons effectuer la multiplication 2 x 1/6.
Cela n'est pas tellement compliqué puisque l'enfant sait que multiplier c'est prendre un certain nombre de fois la même quantité. Donc ici, l'enfant a pris 2 fois 1/6 et a mis ensemble ces deux sections. L'enfant constate alors que cela fait 2/6.
Nous effectuons ensuite une autre multiplication : ici : 3 x 2/10. L'enfant prend donc 3 fois la quantité 2/10 qu'il place après le signe égal puisque multiplier c'est une addition répétée, ici 2/10 + 2/10 + 2/10.
Nous mettons ensemble les sections et nous obtenons la réponse : 6/10.
L'enfant s'exerce ainsi avec plusieurs multiplications de fraction par un nombre entier.
Ici, nous voulons multiplier : 2 x 3/4. Avec le matériel des fractions, nous n'avons pas assez de quarts pour prendre 2 x 3/4. Nous voyons sur la photo ci-dessus qu'il manque 2 sections.
Cela n'est pas bien grave puisque l'enfant peut les fabriquer avec du carton en traçant le contour des sections des quarts pour en découper deux de plus. Voilà, nous avons maintenant 2 fois 3/4.
Nous comptons le nombre de sections que nous avons en tout : 6/4. Donc 2 x 3/4 = 6/4.
Après plusieurs multiplications de la sorte que l'enfant a bien notées dans son cahier, nous les observons avec lui pour tenter de déduire la règle. Exemple : 3 x 2/10 = 6/10 ; 2 x 3/4 = 6/4, etc. Si l'enfant ne remarque pas lui-même, nous pouvons lui demander : ««que remarques-tu au dénominateur après la multiplication?». «Il reste le même». Ensuite, nous lui demandons : «que remarques-tu au numérateur après la multiplication?» «Le numérateur a été multiplié par le multiplicateur». Nous écrivons ensuite la règle sur l'affiche : pour multiplier une fraction par un nombre entier, nous multiplions le numérateur par ce nombre entier, alors que le dénominateur reste le même.
Pour multiplier un entier par une fraction, donc l'inverse de ce que je viens d'expliquer, je vous réfère à l'excellent blogue de Marie-Hélène Montessori avec les 6-12 ans.
Évidemment, il existe d'autres opérations sur les fractions comme la multiplication d'une fraction par une fraction ou la division. J'y reviendrai dans un autre article puisque, pour le moment, je n'y suis pas encore rendu avec ma grande.
