Petite division avec les éprouvettes Étape 2 et 3

Pour répondre à une question d'une lectrice, je me suis 'plongée' dans ce brouillon qui traîne depuis très longtemps. ;)

Marie-Hélène, nous a rédigé un article génial pour parler de l'étape 1 de la petite division avec les éprouvettes sur son blog Montessori avec les 6-12 ans.

Je vais donc vous expliquer la suite. ;) Cet article portera sur l'étape 2 et 3 de la petite division avec le matériel des éprouvettes afin de se diriger tranquillement vers l'abstraction de la division à un chiffre au diviseur. En effet, au terme de ce travail, l'enfant commencera à calculer des divisions à un chiffre au diviseur à la main sans le matériel. L'article suivant abordera la grande division avec le matériel des éprouvettes, c'est-à-dire la division avec deux chiffres au diviseur. 

Étape 2 : 

Voici ci-dessus, la division que nous allons réaliser avec le matériel des éprouvettes. 263 474 divisé par 4. La différence par rapport à l'étape 1 (qui est expliqué sur le Blog Montessori avec les 6-12 ans) est la façon dont nous écrivons notre calcul. Plutôt que d'écrire la division horizontalement, nous l'écrivons verticalement. Bref, vous l'écrivez comme vous le faites pour réaliser ce calcul à la main. ;) Pour ce qui est de la démarche à suivre avec le matériel, c'est exactement la même chose qu'à l'étape 1.  

Pour la première présentation, nous commençons par écrire seulement le dividende ; ici, 263 474. Écrivez-le en respectant le code de couleur des hiérarchies (rouge = centaine de mille et centaine) ; (bleu = dizaines de mille et dizaine) ; (vert = unités de million, unités de mille et unité). L'enfant formera ce nombre en mettant les perles correspondants aux couleurs des hiérarchies dans les petits bols appropriés. Voir photo ci-dessus. Pour le détail sur la présentation du matériel et les couleurs, je vous invite à revenir sur l'article du Blog Montessori avec les 6-12 ans. Donc, en haut de la photo ci-dessus, vous voyez (de gauche à droite) : 2 perles rouges dans le bol des centaines de mille, 6 perles bleues dans le bol des dizaines de mille, 3 perles vertes dans le bol des milles, 4 perles rouges dans le bol des centaines, 7 perles bleues dans le bol des dizaines et 4 perles vertes dans le bol des unités. 

Ensuite, vous écrivez sur la feuille le diviseur ; ici 4 (comme sur la première photo de cet article). Vous mentionnerez à l'enfant que c'est ainsi que nous écrivons les divisions lorsque nous calculons à la main.  

Puisque le diviseur est 4, l'enfant va donc poser 4 quilles vertes sur la planche de calcul verte (le diviseur ne comportant qu'un chiffre, nous avons donc que des unités au diviseur, donc nous prendrons seulement la planche verte puisque le vert est la couleur des unités). 

Nous sommes prêt à commencer la division. Nous descendons le bol des centaines de mille puisque pour diviser nous commençons par la plus grande hiérarchie. Nous demandons alors à l'enfant s'il croit pouvoir diviser 2 centaines de mille en 4. C'est bien sûr impossible. 

L'enfant pensera sûrement qu'il doit faire un change, sinon aidez-le en lui demandant ce qu'il pourrait faire pour pouvoir commencer la division. Donc, sur la photo ci-dessus, j'ai pris 2 éprouvettes des perles bleues des dizaines de mille afin de procéder au change. 

J'ai remis les deux perles rouges dans les éprouvettes des centaines de mille et j'ai versé mes deux éprouvettes de perles bleues des dizaines de mille dans le bol de la hiérarchie suivante, donc les dizaines de mille. Je n'ai plus de centaine de mille. 

Je retourne le bol des centaines de mille à l'envers et le replace en haut (voir la photo ci-dessus). Je descends maintenant le bol des dizaines de mille qui contient à présent 26 perles (les 6 déjà présentent + les 20 qui proviennent du change que nous venons d'effectuer). 

Sur la photo de droite, vous remarquerez alors que j'ai repassé sur le 2 des centaines de mille avec un crayon bleu. Cela permet de bien visualiser le change que j'ai effectué. Puisque je ne pouvais diviser 2 centaines de mille en 4, je l'ai changé en 20 dizaines de mille qui s'ajoutent aux six déjà présentent. Nous avons donc maintenant 26 dizaines de mille à diviser (la couleur des dizaines de mille, c'est bleue). Vous visualisez? ;) 

L'enfant peut commencer la distribution comme il le faisait à l'étape 1 en donnant bien le même nombre à chaque quille verte. Sur la photo ci-dessus, après la distribution, l'enfant a donné 6 perles à chaque quille bleue et il reste 2 perles bleues qu'il ne peut plus partager. 

Sur la photo ci-dessus, vous apercevez comment noter cela. J'ai distribué 6 perles à chaque quille (écrire 6 à droite, l'endroit du quotient) et il me reste 2 perles bleues des dizaines de mille (écrire 2 sous le 6 du dividende des dizaines de mille). 

Nous rangeons les perles des dizaines de mille que nous avons distribué afin de remettre la table de calcul vide. Puis, nous allons changer les deux perles bleues des dizaines de mille restantes contre 20 unités de mille (perles vertes de la hiérarchie suivante). Les deux perles bleues sont rangées dans les éprouvettes en haut (vous les voyez en floues à l'arrière de la photo de droite). 

Nous n'avons plus de perles bleues des dizaines de mille, donc le bol a été retourné et remis en haut pour indiquer que nous avons terminé avec les dizaines de mille. À présent, nous avons 23 unités de mille (les 3 que nous avions déjà plus les 20 du change que nous venons d'effectuer). 

Puisque nous n'avons plus de dizaines de mille parce qu'elles ont été changées en unités de mille, nous allons changer de couleur le 2 des dizaines de mille qui devient vert pour représenter que nous l'avons changé en 20 unités de mille (2 dizaines de mille, c'est la même chose que 20 unités de mille). Donc nous repassons en vert sur le 2.

Ensuite, à l'aide d'une flèche, vous montrez à l'enfant que vous descendez le 3 vert des unités de mille à côté du 2 que vous venez de repasser en vert. Voilà nos 23 perles vertes des unités de mille que nous avons à présent dans notre bol prêtent à être distribuées. 

Voici, sur la photo ci-dessus à droite, ce que nous obtenons après la distribution. Nous avons distribué 5 perles vertes à chaque quille verte et il nous reste 3 unités de mille.

Nous notons cela sur notre feuille de calcul : 5 perles de distribuées, donc nous notons le 5 en vert à droite (notre quotient) et il reste 3, donc nous notons le 3 en vert à gauche sous la colonne des unités de mille. Voir photo ci-dessus. 

Nous allons donc prendre les 3 perles vertes des unités de mille restantes pour les changer en 30 centaines. 

Voilà! Sur la photo ci-dessus, nous voyons que nous avons placé à l'envers et remis en haut le bol vert des unités de mille et que nous avons descendu le bol rouge des centaines qui contient à présent 30 perles rouges de plus suite au change que nous venons de faire. Il y a donc maintenant 34 perles rouges des centaines à distribuer. 

Pour représenter le change des unités de mille en centaines sur ma feuille de calcul, je repasse en rouge sur le 3 des unités de mille qui restaient (en bas à gauche). J'ai donc changé 3 unités de mille en 30 centaines.  

Je descends alors le 4 rouge du dividende qui représente les centaines. J'ai donc maintenant 34 centaines à distribuer. 

Voici, sur la photo ci-dessus, ce que nous obtenons après la distribution. 

Sur la feuille de calcul, je note que j'ai distribué 8 perles de centaine à chaque quille. J'écris donc 8 à droite à l'emplacement du quotient. 

Il me reste 2 perles rouges des centaines. J'écris donc ce reste en rouge sous la colonne des centaines. Voir à droite sur la feuille de calcul ci-dessus. 

Puisque je ne peux plus distribuer les centaines, je vais changer ces 2 perles des centaines en 20 perles des dizaines.  

Puisque je n'ai plus de centaine, je replace le bol rouge des centaines en haut à l'envers et je descends le bol bleu des dizaines. Celui-ci contient à présent 27 dizaines (les 7 déjà présentent + les 20 que nous venons d'ajouter suite au change. 

Voici donc, sur la photo ci-dessus, comment représenter cela sur la feuille. Le 2 des centaines a été changé en 20 dizaines, donc nous repassons en bleu sur ce 2. Puis nous descendons le 7 des dizaines. Nous avons donc maintenant 27 dizaines à distribuer. 

Voilà le partage est fait!

Nous notons sur la feuille de calcul que nous avons distribué 6 dizaines à chaque quille (nous écrivons donc 6 au quotient, à droite sur la feuille). Puis, nous écrivons qu'il nous reste 3 (en bleu) perles des dizaines que nous ne pouvons pas distribuer (en bas à gauche). 

Nous allons donc changer ces 3 perles bleues des dizaines en 30 perles vertes des unités. 

Nous n'avons plus de perles des dizaines, donc nous rangeons le bol des dizaines en haut à l'envers et nous descendons le bol des unités qui en contient maintenant 34 (les 4 déjà présentent + les 30 du change que nous venons de faire).  

Nous repassons donc en vert sur le 3 (les 3 dizaines ont été changé en 30 unités). Puis, nous descendons le 4. Cela nous fait donc 34 perles d'unités à partager. 

Voilà le partage terminé! Il reste 2 perles vertes des unités que nous ne pouvons pas partager. 

Sur la feuille, nous notons donc que nous avons partagé 8 perles d'unités à chacune des quilles. Nous écrivons donc ce 8 au quotient à droite. Puis, nous notons sous la colonne des unités à gauche qu'il nous reste 2 perles d'unités. Le résultat de cette division (le quotient) est donc 65 868 reste 2. Nous nous assurons toujours que notre reste (ici 2) est inférieur au diviseur (ici 4), sinon c'est qu'il y a une erreur dans notre calcul. 

Étape 3 : 

Je profite de la description de cette dernière étape pour introduire le cas des zéros au quotient. En fait, c'est simplement pour ne pas qu'ils soient oubliés que je le souligne ici. ;)

Nous allons donc écrire le dividende, puis l'enfant place les quantités dans les bols correspondants (ici, 25 346). Puis, nous écrivons le diviseur (ici 5) et l'enfant place donc 5 quilles pour représenter ce diviseur. Encore une fois, rien ne change sur la façon de procéder avec le matériel ; c'est à l'écrit que nous notons des différences. Nous allons à présent écrire les étapes sur la feuille exactement comme nous le ferions à la main, sans matériel. Simplement, pour le moment, le matériel est encore-là pour nous aider. Il s'agit donc de la dernière étape vers l'abstraction complète.

Pour diviser, nous commençons par les plus grandes hiérarchies, donc ici, les dizaines de mille. Nous n'en avons que 2, donc nous ne pouvons pas les partager en 5. 

Nous allons donc changer ces 2 perles bleues des dizaines de mille en 20 perles vertes des unités de mille. 

À présent, nous avons 25 perles d'unités de mille à distribuer. J'ai alors repassé sur le 2 des dizaines de mille pour le mettre en vert (couleur des unités de mille). Je souligne le 25 ici parce que c'est le seul moment où nous pouvons sauter à la hiérarchie suivante sans écrire de 0 au quotient (à quoi bon puisque l'on ne place jamais de 0 devant un nombre. ;) Je demande alors à l'enfant combien crois-tu que nous pourrons faire de groupe de 5 (notre diviseur) avec 25. Au besoin, faites travailler l'enfant avec cette notion avec des perles au préalable (exemple, j'ai 21 perles dorées, combien pourrons-nous faire de groupes de 7? L'enfant fera des groupes de 7 et obtiendra donc 3 groupes de 7. Nous lui demandons ensuite : «dans 21, combien avons-nous de fois 7?» «3». Vous pratiquez cela avec l'enfant tant que cela sera nécessaire. C'est en effet, le même principe ici. «J'ai 25 perles vertes, combien pourrons-nous faire de groupe de 5?» La réponse est 5 puisque dans 25, j'ai 5 fois 5. 

Au départ, pour répondre à cette question, l'enfant aura probablement besoin de la table de calcul, particulièrement lorsqu'il y aura des restes. Pour répondre à la question, l'enfant fera donc la distribution des 25 perles. Nous obtenons effectivement 5 perles pour chaque quille et il n'y a pas de reste (il ne reste plus de perle verte des unités de mille à distribuer). 

Nous notons donc sur la feuille le 5 au quotient (à droite) en vert puisque nous avons distribué des unités de mille. En pointant les nombres sur la feuille à droite, puis les lignes horizontales et verticales de la planche de calcul, vous dites 5 x 5 = 25. En effet, nous avons 5 perles sur la ligne horizontale et 5 perles sur la ligne verticale, donc 5 x 5 = 25. Si nous comptons toutes les perles sur la planche, nous constaterons que nous avons effectivement 25 perles. 

Nous écrivons donc 25 que nous soustrayons de 25. 25 - 25 = 0. Voir sur la photo ci-dessus, c'est toujours plus clair. ;) Nous mentionnons que 25, c'est ce que nous venons de partager. De plus, en regardant dans le bol vert, nous constatons qu'effectivement, il ne nous reste plus de perle verte. ;) Le reste est donc bien zéro. ;)

Nous n'avons plus de perle d'unité de mille, donc nous plaçons le bol vert à l'envers en haut. Nous descendons ensuite le bol de la hiérarchie suivante, donc le bol rouge des centaines. 

En descendons le bol rouge des centaines, nous descendons également le 3 (qui représente les perles rouges des centaines) sur la feuille de calcul (voir photo ci-dessus). Bref, ce que nous faisons avec le matériel, nous le faisons en même temps sur la feuille. L'enfant voit bien à quoi correspondent toutes ces étapes sur le papier pour une meilleure compréhension de ce qu'il fait et non pas simplement la répétition d'une 'recette' qu'il a vu faire. ;) Nous constatons que nous ne pouvons pas partager ces 3 perles rouges des centaines en 5. 

Je vais donc noter cela sur la feuille : «combien pourrons-nous faire de groupe de 5 avec 3 centaines?» La réponse est 0. Nous notons donc ce 0 à droite au quotient. 0 x 5 = 0. Nous allons donc écrire 0 sous le 3 (à gauche sur la photo ci-dessus). Nous faisons la soustraction : 3 - 0 = 3.  Il nous reste donc encore 3 centaines puisque nous n'avons pas pu les distribuer. 

   

Nous allons donc faire un change. Nous allons changer nos 3 centaines en 30 dizaines. 

Nous montrons également ce change sur notre feuille. Je repasse sur le 3 rouge pour le mettre en bleu (3 centaines ont été changé en 30 dizaines). Puis, je descends le 4 des dizaines. Nous avons donc 34 dizaines à partager. Avec le matériel, j'ai également descendu les 34 dizaines dans le bol des dizaines (photo ci-dessus à droite). ;)

La distribution des dizaines a été faites. 

Nous notons sur la feuille que nous avons partagé 6 perles bleues des dizaines à chacune des quilles (à droite sur la feuille ; l'endroit du quotient). Puis, nous faisons le calcul : 6 x 5 qui se visualise également avec les perles (voir photo ci-dessus à droite). 6 x 5 = 30. 

Sur la feuille, nous écrivons donc 30 en bleu puisque nous avons partagé 30 dizaines des 34 dizaines que nous avions (à gauche). Nous calculons 34 - 30 = 4. De nos 34 dizaines que nous avions, il nous en reste 4 après le partage. Nous vérifions dans le petit bol bleu ; il nous reste effectivement 4 perles bleues des dizaines. 

Puisque nous ne pouvons pas partager ces 4 dizaines en 5, nous allons les changer en 40 unités. 

Nous allons donc repasser en vert sur le 4 des dizaines que nous avons changé en 40 unités. Puis, nous descendons le 6 des unités. Nous avons donc maintenant 46 (40 + 6) unités à partager. Nous descendons le bol des unités qui contient nos 46 unités à partager.

Voici les 46 unités partagées en 5. Il en reste 1.  

Nous notons sur notre feuille que nous avons 9 perles sous chaque quille après le partage (au quotient à droite en vert puisque c'était des unités que nous avons partagé). 

Nous calculons 9 x 5 = 45. 

Nous écrivons donc 45 en vert sous le 46. 

46 - 45 = 1. Il nous reste effectivement 1 perle verte que nous n'avons pas pu distribuer. ;) 

Dans le prochain article (un jour X encore inconnu à ce jour Hihi!), je vous montrerez l'étape 1 de la grande division avec les éprouvettes (donc lorsqu'il y a plus d'un chiffre au diviseur). J'ai aussi en brouillon la division à deux chiffres au diviseur avec les perles dorées et les timbres qui devraient précéder la grande division avec les éprouvettes. Une petite 'caverne d'Ali Baba' de présentation dans mes brouillons, mais il faut trouver le temps et l'énergie pour ré-ouvrir cette caverne et y faire un peu d'ordre. ;) Un vrai travail de moine, mais parfois lecteur, vous me donnez cette impulsion de m'y mettre. ;) 

En espérant que cet article vous soit utile et qu'il soit compréhensible. Je manque un peu de temps pour ces articles en tant que maman 'célibataire' de semaine. ;) (Mon conjoint travaille loin de la maison la semaine pour cet hiver et ce printemps). ;)