Critères de divisibilité et notion de facteurs

Cet article dort sur mon blogue depuis longtemps. Je ne prends plus le temps de l'alimenter, mais je note qu'il est encore consulté. Je vais donc publier les articles qui restaient en « brouillon » et qui me restaient à les relire et corriger. Je ne prendrai pas tout ce temps, mais je crois qu'il sera utile malgré les possibles petites coquilles qui pourraient rester. 

Pour cet article, je vais vous parler des notions de divisibilité et des facteurs. En effet, pour trouver les facteurs d'un nombre, il est utile de bien connaître les critères de divisibilité. Je vous parlerai dans un autre article de la notion de multiple et de plus petit commun multiple puisque ces notions s'entrecoupent entre elles.  

Pour le moment, nous allons faire découvrir à l'enfant les critères de divisibilité. Pour ce faire, nous allons utiliser notre beau vieux matériel des perles dorées. S'il y a bien un matériel qui suit l'enfant depuis les tout débuts, c'est bien le matériel des perles dorées. Dès la maternelle, ce matériel est utilisé et il revient chaque année pour de nombreuses notions. ;)

Pour commencer, nous voulons faire découvrir à l'enfant les critères de divisibilité par 2. Je prépare alors une feuille comme celle ci-dessous : 

Nous écrivons une première division par 2 avec un grand nombre de votre choix : ici : 537. 

L'enfant va donc chercher 537 avec les perles dorées qu'il place dans un grand plateau.

J'ai préparé deux plus petits plateaux pour le partage. Ici, je vous réfère à mon article sur la division avec les perles dorées puisque cette présentation doit avoir été faite au préalable avant de présenter la notion de divisibilité des nombres. Donc, sur la photo ci-dessus, le partage a commencé (pour diviser, nous commençons par la plus grande hiérarchie, donc ici, les centaines). Par contre, il me reste une centaine à partager en deux ; nous ne pouvons pas.

Nous échangeons donc la centaine restante contre 10 barrettes de 10. Maintenant, nous pouvons poursuivre le partage avec les barrettes de 10. 

Voilà! Les barrettes de 10 ont été partagées, mais il reste encore une seule barrette de 10 dans le grand plateau. Je ne peux la partager ainsi. 

Je vais donc la changer en 10 perles d'unités. 

Le partage peut se poursuivre avec les unités. 

Voici notre réponse : 268 (le résultat d'une division est ce que reçoit une unité, donc nous trouvons le résultat dans un des petits plateaux). 

Par contre, pour cette présentation, ce qui nous intéresse, c'est le reste. Nous demandons à l'enfant : «est-ce qu'il y a un reste après cette division?» Ici, nous voyons qu'il nous reste une unité qui n'a pas pu être partagée. 

Sur la feuille, j'écris donc «oui» sous le mot Reste (en haut à droite). 

Nous retirons alors cette unité en demandant à l'enfant : «si j'enlève cette unité qui reste, mon nombre n'est plus 537, mais 536, n'est-ce pas?» «Mon opération devient donc 536 divisé par 2» (je note alors cette nouvelle division sous la première... voir la photo ci-dessous). Je demande alors à l'enfant s'il y a un reste. «Non, il n'y a pas de reste». 

Cette fois, j'écris donc sur ma feuille «non» sous la colonne 'Reste'.

Nous continuons ainsi en enlevant encore une perle. Évidemment, ici, puisqu'il n'y avait plus de perle dans le bol des restes, j'ai dû en prendre une dans les petits plateaux. Mais si j'en prends une dans un des petits plateaux, je dois aussi en enlever une dans l'autre puisque la quantité entre les deux plateaux doit demeurer égale puisque diviser c'est partager en quantité égale. J'enlève donc une perle d'un plateau que je range à la banque et l'autre, je la place dans la petite coupelle des restes devant mes plateaux de partage. 

Nous notons alors que notre opération devient 535 divisé par 2 et «oui» il y a un reste. 

Nous enlevons encore une perle. Notre division devient 534 divisé par 2 (nous la notons sur la feuille à gauche) et nous notons «non» (sur la feuille à droite) il n'y a pas de reste. 

Nous enlevons encore une perle. Donc, encore une fois, afin que les quantités dans les petits plateaux demeurent égales, nous prenons une perle dans chaque : une que je vais remettre à la banque (nous l'enlevons pour avoir une perle de moins) et l'autre que je place dans la coupelle des restes. Nous notons que notre opération est maintenant 533 divisé par 2 et «oui» il y a un reste. 

On retire encore une perle. Nous obtenons la division : 532 divisé par 2. Nous notons «non» il n'y a pas de reste. 

À présent, nous allons souligner le dernier chiffre des nombres qui se divise par 2, donc ceux où nous avons écrit «non» (les divisions qui n'ont pas de reste). Nous laissons l'enfant observer la feuille en lui demandant s'il remarque quelque chose de particulier. S'il a déjà vu la notion de pair-impair avec les jetons rouges, il devrait trouver. J'en avais parlé dans cet article des activités de ma puce (vers la fin) (j'ai regardé vite, vite ; la grande sensible en moi en encore tellement de difficulté à regarder ces photos d'archives avant la maladie où tout était doux et calme pour ma puce ;(. 

Bref, il devrait remarquer que tous les chiffres soulignés sont pairs. J'énonce alors à ma grande : «donc, les nombres qui sont divisibles par 2 sont...». Elle complète en disant : «les nombres pairs». 

L'enfant note alors sur une feuille la règle suivante : «un nombre est divisible par 2 lorsque le chiffre des unités est pair». 

Nous pouvons ensuite lui proposer des nombres et nous lui demandons d'encercler ceux qui sont divisibles par 2, donc les nombres pairs, donc ceux qui se terminent par 0, 2, 4, 6, 8. ;) 

Passons à la découverte des critères de la divisibilité par 5. 

Sur le même principe, nous allons écrire l'opération sur une feuille. Ici : 327 divisé par 5. L'enfant va donc chercher les perles pour composer ce nombre. 

Nous préparons alors 5 plateaux pour diviser par 5. Si vous manquez de plateau, prenez des cartons (je les ai pris verts parce que c'est la couleur des unités ;). Donc ici, nous voulons diviser par 5, mais nous n'avons que 2 centaines. 

Nous allons donc les changer en 20 dizaines. À présent, nous pouvons commencer le partage avec les dizaines. 

Voilà! Les dizaines sont partagées. Il reste encore 3 dizaines, mais nous ne pouvons les partager en 5. Nous allons donc faire un change. 

Nous avons changé les 3 dizaines restantes contre 30 unités. Nous pouvons ensuite les partager.

Voici le partage terminé. Il nous reste 2 perles d'unité qui ne peuvent être partagées. 

Nous notons donc sur la feuille que «oui» nous avons un reste. 

Si j'enlève une perle, j'obtiens la division 236 divisé par 5 (je la note à gauche sur la feuille sous la première division) et «oui» il y a encore un reste. J'écris donc «oui» à droite sous la colonne 'Reste'. 

J'enlève encore une perle, j'obtiens donc la division 235 divisé par 5. Cette fois, «non», il n'y a pas de reste. Je note ceci encore sur la feuille (voir la photo ci-dessus). 

Je continue en enlevant une perle. Pour ce faire, j'ai dû enlever une perle dans chacun des cinq plateaux. Je range une des 5 perles à la banque. Il me reste donc 4 perles d'unités que je place dans la coupelle des restes devant les plateaux de partage. Je notre alors sur la feuille : «234 divisé par 5». «Oui», il y a un reste. Voir sur la feuille de la photo ci-dessus. 

Si j'enlève encore une perle, j'obtiens la division : «233 divisé par 5». «Oui», il y a un reste. 

Ainsi de suite jusqu'à ce que j'arrive à «230 divisé par 5». Ici, «non», il n'y a pas de reste. Voir sur la photo ci-dessus, toutes les étapes que j'ai notées au fur et à mesure. 

Je souligne alors les 5 et les 0 à la fin des nombres. Nous laissons encore l'enfant trouver lui-même la règle en observant la feuille. Au besoin, aidez-le en lui posant des questions. 

Il trouvera alors la règle qu'il écrira sur une feuille : «un nombre est divisible par 5 lorsque le chiffre des unités est 0 ou 5. 

Comme par les critères de la divisibilité par 2, vous pouvez lui écrire des nombres sur une feuille et l'enfant doit encercler les nombres qui se divisent par 5, donc qui se terminent par 0 ou 5. 

Puisque l'enfant s'est déjà exercé avec la multiplication par 10, 100, 1000, il est possible qu'il puisse déduire les critères de la divisibilité par 10 de lui-même sachant que la multiplication est l'inverse de la division. Au besoin, faites-lui découvrir avec les perles de la même façon que vous venez de le faire par les critères de la divisibilité par 2 et 5. Il trouvera et notera la règle : «un nombre est divisible par 10 lorsque le dernier chiffre est 0». 

Nous allons maintenant lui faire découvrir les critères de la divisibilité par 3. Évidemment, ne faites pas ces présentations toutes la même journée ; allez-y graduellement. 

Donc, comme habituellement, nous écrivons une première division sur la feuille (voir sur la photo ci-dessus). L'enfant va alors chercher les perles correspondantes : ici : 361. 

Nous plaçons donc 3 plateaux pour diviser ce nombre par 3. Nous commençons le partage par les centaines, puis les dizaines. Il reste alors 1 perle d'unité que je place dans la coupelle des restes. 

J'écris alors «oui» sous la colonne 'Reste' puisque nous avons un reste. Puis, comme précédemment, j'enlève une perle. J'obtiens alors la division «360 divisé par 3» que je note sur la feuille. Puis, j'écris «non» sous la colonne 'Reste', car il n'y a pas de reste. 

J'enlève encore une perle. Ici, c'est particulier puisque je n'ai aucune perle des unités dans mes plateaux de partage. Je vais donc prendre une barrette de 10 dans chacun des plateaux que je vais changer en 10 perles d'unité. De ces 30 perles d'unité que j'obtiens, j'enlève alors 1 unité et je partage les autres perles entre les 3 plateaux. 

À la fin du partage, il me restera deux perles. Je note alors la division que nous venons de faire «359 divisé par 3 ; une perle de moins que le 360 précédent). Puis, j'inscris «oui», nous avons un reste. 

Je poursuis en enlevant une perle à chaque fois, en notant la division et en notant s'il y a un reste. Voir la feuille sur la photo ci-dessus. Je termine par «357 divisé par 3». «non», il n'y a pas de reste. Ici, en observant la feuille et les nombres qui n'ont pas de reste (donc qui sont divisibles par 3), l'enfant aura bien de la difficulté à trouver la règle. 

Nous lui montrons donc la solution comme quelque chose d'incroyable. «Regarde, si j'additionne tous les chiffres de mon nombre qui n'a pas de reste, j'obtiens un nombre qui se divise par 3». En effet, pour 360 divisé par 3, j'additionne 3 + 6 + 0. J'obtiens 9 qui est divisible par 3. Même chose avec 357 : 3 + 5 + 7 = 15 ; 15 est divisible par 3. Magique! 

L'enfant note alors cette nouvelle règle sur la feuille : «un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3». 

Nous pouvons alors lui proposer un petit jeu avec de grands nombres. Il doit trouver si ces nombres sont divisibles par 3 ou non en additionnant les chiffres qui le composent. Voir la photo ci-dessus. 

Vous pouvez mentionner à l'enfant que les critères de la divisibilité par 9 fonctionnent sur le même principe. Nous écrivons alors la règle : «un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9». Encore une fois, vous pouvez lui écrire des nombres dont il doit additionner les chiffres pour découvrir s'ils sont divisibles par 9. 

Pour les critères de la divisibilité par 4, vous fonctionnez de la même façon avec les perles dorées.

À la fin des partages, vous obtiendrez une feuille comme celle ci-dessus. Ici, le nombre de départ était 218 et j'ai retiré une perle à chaque fois. Ici, pour trouver la règle, nous soulignons les deux derniers chiffres des nombres qui n'ont pas de reste (ici, 216 et 212). Nous faisons alors remarquer à l'enfant que les nombres soulignés sont divisibles par 4. Nous écrivons donc la règle : «un nombre est divisible par 4 lorsque les deux chiffres à la fin forment un nombre divisible par 4». 

Voilà pour la notion de divisibilité! Ceci sera très utile afin d'aborder la notion de décomposition en facteurs et de facteurs premiers. 

Division avec les perles dorées (deux chiffres au diviseur)

Voici un article qui traîne dans mes brouillons depuis deux ans!!! Ayoye! Il était temps que je le termine. ;) J'ai plusieurs idées d'articles que je souhaite écrire, mais puisque je manque de temps en ce moment (déménagement approchant oblige ;), je vais au moins prendre le temps de terminer et corriger celui-ci afin de ne pas rester silencieuse trop longtemps. ;) Les prochains mois seront sous le signe du ménage, boîtes, réaménagement d'un nouveau chez nous. ;) 

Je prendrai le temps de vous donner les dernières nouvelles de Coralie bientôt. Demain, elle a son rendez-vous pour sa prise de sang et 'hépariner' son PAC. Le lundi suivant, nous serons à Québec pour une rencontre avec le médecin et espérer que tout est encore beau et que ma puce poursuit sa rémission. On croise tous les doigts? ;) 

Donc, en attendant, place à Montessori et la division à deux chiffres au diviseur. ;) 

Je vous présente ici la façon de présenter la division à deux chiffres au diviseur avec les perles dorées. Suivra la présentation avec les timbres (à deux chiffres, puis trois chiffres au diviseur ; ainsi que le cas particulier lorsqu'il y a un zéro au diviseur)

Bien sûr, l'enfant a d'abord vu la division à un seul chiffre au diviseur (la Petite division). 

- avec les perles dorées

- Ensuite, commence le travail de la mémorisation de la division

- puis les timbres

- Finalement, la petite division en éprouvette (dernière étape vers l'abstraction pour les divisions). Merci à Marie-Hélène pour ces explications claires de la division à un chiffre au diviseur avec le matériel des éprouvettes (étape 1)! Pour l'étape 2 et 3, voici l'article que j'ai rédigé dernièrement. 

L'enfant parvient à présent à effectuer des divisions à un chiffre au diviseur sur papier sans le matériel. 

Il est alors temps de présenter la Grande division (deux chiffres au diviseur, et plus tard trois chiffres au diviseur).

On commence par inscrire la division à effectuer. Les grands symboles seront utilisés pour le dividende et les petits symboles pour le quotient (en effet, le résultat sera plus petit que le nombre à diviser ;). Donc ici, nous devons diviser 5423 par 12. 

L'enfant prend la quantité de perles qui correspond au dividende. 

Ensuite, on explique à l'enfant que ce serait vraiment compliqué et que cela demanderait beaucoup d'espace de prendre 12 plateaux pour effectuer le partage ici. Nous allons faire des groupes comme dans l'armée romaine. Comme ma grande me disait depuis une semaine qu'après l'Égypte ancienne, elle souhaite que l'on travaille sur la Rome antique, cela l'a tout de suite intéressé. ;) Dans l'armée romaine, il y a des soldats (les légionnaires) et des décurions qui représentent un groupe de 10 soldats. En grande 'fan' d'Astérix, ces termes lui 'parlaient' beaucoup ; elle était bien contente de cette référence. ;) Donc pour faire 12 (notre diviseur), nous avons besoin d'un décurion (un groupe de 10 légionnaires) et 2 légionnaires. Notre décurion est représenté par un plateau bleu (bleu étant la couleur des dizaines, donc représente bien notre décurion (10). Les 2 légionnaires seuls sont représentés par des plateaux verts (la couleur des unités). Sur la photo ci-dessus, nous avons donc les plateaux pour diviser notre dividende par 12 (partager en 12).   

Ma grande commence alors la distribution des perles. Pour la division, nous commençons par les plus grandes quantités, donc les cubes de 1000 ici. Mais attention, si vous donnez un cube de 1000 au décurion, il faut en donner 10 fois moins aux légionnaires (donc 100). En effet, le plateau du décurion représente 10 légionnaires ; il est donc normal qu'il y en ait dix fois plus dans ce plateau. Si l'enfant ne comprend pas très bien, il est possible de diviser le plateau des décurions en 10 plateaux verts et de faire la distribution du cube de 1000 dans ces dix plateaux. L'enfant verra tout de suite qu'il y a effectivement 100 dans chaque plateau vert. Lorsqu'on regroupe ces dix plateaux verts en un décurion (plateau bleu), cela fait effectivement 1000. Pour ma grande cela n'a pas été nécessaire ; je crois que tout le travail sur le matériel Montessori depuis sa maternelle (5 ans) a permis de bien comprendre ceci sans nécessité de démonstrations supplémentaires. 

Ma grande continue donc la distribution. Elle a ici ajouté un autre cube de 1000 au décurion ; elle distribue donc des plaquettes de 100 aux légionnaires (souvenez-vous, ils reçoivent dis fois moins que le décurion! ;)). 

Ici, ma grande vous montre le cube de 1000, car elle aimerait bien le donner au décurion, mais il n'y a plus de plaquette de 100 pour les légionnaires, alors ce n'est pas possible (voir les perles devant elle sur la photo ci-dessus ; on ne voit plus de plaquette de 100). Que faire?

Comme elle travaille avec les perles depuis des années, elle a su tout de suite qu'elle n'avait qu'à 'casser' ce cube de 1000 en dix plaquettes de 100. Bref, faire un change! ;) 

Voilà! Nous pouvons continuer le partage. Il reste deux cubes de 1000, donc elle en place un autre dans le plateau des décurions...

... puis elle donne alors 10 fois moins aux légionnaires, donc une plaquette de 100 pour chacun. 

Elle donne le dernier cube de 1000 au décurion...

... et une plaquette de 100 pour chaque légionnaire.

Il ne reste plus de cube de 1000, donc on passe à la distribution des plaquettes de 100. Si on donne une plaquette de 100 au décurion, on donne donc une barrette de 10 à chaque légionnaire (10 fois moins). 

Ensuite... oups! Il n'y a plus de barrette de 10, impossible de continuer la distribution puisque si je place une plaquette de 100 au décurion, j'ai besoin de barrettes de 10 pour donner aux légionnaires.

Ma grande va donc effectuer un change en 'cassant' cette plaquette de 100. ;)

Elle échange donc une plaquette de 100 contre dix barrettes de 10.

Voilà!

Nous pouvons donc reprendre la distribution. Une plaquette de 100 dans le plateau du décurion, donc une barrette de 10 dans chaque plateau de légionnaire. 

On continue de distribuer en mettant toujours 10 fois plus dans le plateau des décurions.

Nous sommes rendus à distribuer les barrettes de 10. 

Si je mets une barrette de 10 dans le plateau des décurions, je vais donc placer une perle d'unité dans chaque plateau de légionnaires. Il restera alors qu'une perle d'unité, mais nous avons deux légionnaires...

Ici, ma grande veut échanger notre dernière barrette de 10 contre dix perles d'unité afin de continuer la distribution puisqu'il n'y a plus assez de perles d'unité. Mais alors ma grande constate qu'il est impossible de continuer à distribuer les perles afin que tous aient la même quantité. En effet, il ne reste plus de barrette de 10, et si nous donnons une perle d'unité au décurion, on devrait en donner dix fois moins aux légionnaires, mais on ne peut 'casser' une perle d'unité (ou alors on tombe dans les nombres décimaux ;). Bref, comme bien des divisions, nous avons un reste ; ici 11. On mentionne alors à l'enfant de s'assurer que le reste est plus petit que le diviseur (ici 12). Donc, oui, ici, 11 est plus petit que 12, donc effectivement, on ne peut plus partager également. Note : Il n'est pas obligatoire de procéder à ce dernier change. Ma grande aurait parfaitement pu garder la barrette de 10 intact ainsi que la perle d'unité. En effet, si nous n'avons que des perles d'unité, il est impossible de continuer la distribution. On peut donc garder notre 10 + 1 et constater que cela fait 11, donc inférieur à 12. ;)

On rappelle à l'enfant que la réponse à la division est ce qu'a obtenu un seul légionnaire. Chaque légionnaire ayant reçu la même part. Au besoin, nous pouvons prendre le plateau des décurions et partager son contenu en 10 légionnaires. L'enfant constatera qu'il y a le même nombre dans chaque plateau de légionnaires. 

Ici, ma grande cherche les petits symboles qui correspondent à la quantité qu'il y a dans un plateau vert. 

Elle fait la magie du nombre et obtient 451. Note : on ne le voit pas en photo, mais pour vérifier que le calcul est exact, l'enfant compte la quantité qu'il y a pour chaque plateau et fait chaque fois la magie du nombre. Donc, ici, il y a 451 pour chacun des deux plateaux verts. Ensuite, pour le plateau bleu, il y a 4510. 4510 est bel et bien 10 fois plus grand que 451, donc le calcul est exact. L'enfant le sait très bien puisqu'il a travaillé sur la multiplication par 10, 100, 1000. ;)  

Voici donc l'équation présentée avec le résultat (et le reste en perles) : 451 reste 11. 

Un autre jour, ma grande a souhaité amener sa propre armée de 'chats' romains. ;) Elle a donc placé 10 chats autour du plateau du décurion et un chat derrière chaque plateau de légionnaires. À la fin de la distribution, je lui demandais «combien a de perles le gros chat rose?», «combien a de perles le chat au visage brun et noir?». Elle donnait alors le résultat qu'elle voyait dans leur plateau vert respectif (donc la même quantité pour chacun). Puis, je lui ai demandé : «combien a de perles le gros chat blanc?». Sur le coup, elle a regardé le plateau bleu qui contient dix fois plus de perles que chacun des plateaux verts avec un point d'interrogation. ;) Mais rapidement, elle a saisi, ne s'arrêtant plus à la quantité impressionnante de perles qu'il y avait dans ce plateau. ;) Elle m'a alors répondu exactement le même nombre que pour les chats précédents. Évidemment, je savais que ma grande saurait répondre à cette question sans trop de difficulté. Avec la pédagogie Montessori, il faut faire attention de ne pas mettre l'enfant en situation d'échec. Lui poser une telle question, alors qu'il est possible qu'il ne sache quoi répondre le mettrait en situation de stress inutile. Si vous croyez que l'enfant ne saurait quoi répondre, il aurait été ici possible de prendre les dix chats devant le plateau bleu et de leur donner à chacun un plateau vert. Ensuite, vous distribuez à chaque chat la quantité qu'il y avait dans le plateau bleu. Bref, je l'ai déjà dit! ;) 

Bon, ici, mes exemples représentent toujours 12 comme diviseur, mais c'est le même principe si on divise par 15 (un décurion (plateau bleu) et 5 légionnaires (plateau vert)). Si on divise par 24, on aura 2 décurions (2 plateaux bleus) et 4 légionnaires (plateaux verts). 

Après plusieurs divisions de la sorte, nous présenterons la division à deux chiffres au diviseur avec les timbres (ce fera l'objet d'un prochain article ;). Ensuite, nous reviendrons à la division avec les perles dorées, mais pour une division à 3 chiffres au diviseur. Je ne ferai pas la présentation de ceci sur mon blog parce qu'il n'y a vraiment rien de très compliqué puisque cela fonctionne sur le même principe que la division à deux chiffres au diviseur. La seule particularité est que nous aurons également des centurions (100 légionnaires). Ainsi, si nous avons 135 comme diviseur, nous aurons besoin d'un plateau rouge (centurion = 100 ; le rouge étant la couleur des centaines), trois plateaux bleus (décurion = 10) et de cinq plateaux verts (légionnaire = 1). Donc, ici, si nous donnons un cube de 1000 au centurion, nous devrons donner dix fois moins aux décurions (donc une plaquette de 100 à chacun) et encore dix fois moins aux légionnaires (donc une barrette de 10 à chacun). Vous me suivez? Si jamais vous avez besoin de plus d'explications et de photos n'hésitez pas, je ferai alors un article avec plaisir... lorsque je pourrai... ;)