Multiplication avec le grand boulier

Avant de faire des multiplications avec le grand boulier, l'enfant a fait des multiplications avec les perles dorées et avec les timbres. Il a aussi vu la multiplication X10, X100, X1000 et le matériel des grandes hiérarchies. Il est maintenant prêt pour la présentation du grand boulier. Jusqu'à présent, l'enfant travaillait avec le petit boulier. Maintenant qu'il a vu les grands nombres au-delà de 9999, il peut travailler avec le grand boulier qui va jusqu'aux millions. 

Comme c'est la première fois que l'enfant travaille avec le grand boulier, on procède à une présentation de ce boulier. La présentation ressemble à celle faites avec le petit boulier, mais en plus long puisque l'on va jusqu'aux millions. ;) 

Pour une explication détaillée de la présentation du grand boulier, je vous invite sur le blog de Family and Co. Elle a rédigé une belle présentation en photos dernièrement! Cela m'a été très utile! Merci à elle! ;)

Ma grande a adoré cette présentation où l'on ajoutait encore et encore des feuilles pour parvenir jusqu'à la fin des nombres du boulier. Remarquer qu'elle ne s'est pas contentée d'arrêter à 9 000 000. Elle a voulu aller au-delà du boulier! ;) Comme elle avait très bien compris le principe, elle n'a pas eu de mal à écrire 10 000 000, 20 000 000.... puis 100 000 000, 200 000 000, 300 000 000. Elle a dû arrêter-là par manque de feuille. hihi! Noter que cette feuille est faites pour le grand boulier, donc les lignes pour écrire les 10 000 000 (bleues) et les 100 000 000 (rouges) étaient inexistantes. Elle a pu me montrer (sans que je lui demande ;) qu'elle avait bien comprise le principe puisqu'elle a elle-même ajouté les lignes de couleurs manquantes. Elle était déçue de ne pas pouvoir continuer jusqu'aux milliards. hihi! Les grands nombres, ça fascine! ;) Pour avoir ces feuilles, c'est sur la Boutique de documents Montessori. 

Ma grande s'est ensuite pratiquée à former des grands nombres sur le boulier. J'écrivais un grand nombre sur un papier et elle le formait sur le boulier. 

Inversement, je formais un nombre sur le boulier et elle devait l'écrire sur un papier. Je lui demandais également de lire ces nombres. 

Une fois que la présentation du grand boulier est faites, on peut présenter à l'enfant comment faire une multiplication avec le grand boulier. Pour commencer, on présente à l'enfant des multiplications à un seul chiffre au multiplicateur. Plus tard, l'enfant verra les multiplications à deux chiffres au multiplicateur (exemple : 2345 X 24) avec le Damier, puis avec le grand boulier. 

Voici comment j'ai procédé étape par étape : 

1ère étape : 

À gauche de la feuille, on écrit la multiplication à effectuer. Ici : 4563 X 3. À droite de la feuille, l'enfant va décomposer cette multiplication. Sur la photo ci-dessus, on voit la première décomposition. On commence par les unités, donc on écrit 3 X 3.

L'enfant effectue cette multiplication sur le boulier. Sur la photo ci-dessus, j'ai bien séparé les trois paquets d'unités pour que vous voyez bien que l'on déplace trois fois trois unités vers la droite. 

Cela fait 9 unités, donc l'enfant écrit ce résultat sous la décomposition 3X3 sur la feuille (à droite). Il écrit également cette réponse sous la multiplication écrite à gauche (sur la rangée des unités évidemment). 

Après cette multiplication, on remet toutes les billes du boulier à gauche. Pour la première étape, on procède catégorie par catégorie en remettant toujours à zéro. 

On poursuit avec la prochaine décomposition qui est 3 X 60. Après l'avoir écrit à droite de la feuille,...

... on procède à cette multiplication sur le boulier. Donc ici, on veut effectuer 3 X 60, donc 6 dizaines prisent 3 fois. Sur la photo, je montre 6 dizaines prient une première fois. 

Ensuite, je veux prendre 6 dizaines une deuxième fois, mais il m'en reste que 4. Donc....

... on procède à un change. On échange les dix perles des dizaines contre une perle de centaine (l'enfant est déjà habitué à cette façon de faire le change avec le boulier... cela a été vu lors de l'addition dynamique avec le boulier. Notez le croisement des doigts. C'est pour bien montrer que l'on effectue ces deux déplacements en même temps. Cela évite d'oublier le change! ;)

Ensuite, on commence à compter après 4 (les 4 dizaines qu'on avait déjà compté). Donc, 5, 6. On obtient donc 2 perles des dizaines à droite. On a maintenant pris 2 fois 6 dizaines. 

Il faut donc déplacer encore une autre fois 6 dizaines pour faire 3X60. On obtient alors 8 dizaines à droite du boulier (et 1 centaine en raison du change). La réponse de 3 X 60 est donc 180.

L'enfant écrit alors cette réponse (180) sous la décomposition à droite. Il transcrit également ce résultat sous la multiplication à gauche sous le 9 (voir la photo ci-dessus). Ensuite, l'enfant écrit à droite la multiplication des centaines. 3 X 500. 

Il procède alors à ce calcul sur le boulier. On déplace 5 perles de cent une fois... 5 perles de cent deux fois...et oups! Il n'y a plus de perles de cent à gauche...

...donc on doit encore faire un change. On va ranger les 10 perles des centaines à gauche en échange d'une perle de 1000 que l'on déplace vers la droite.   

On peut ensuite compter les dernières 5 centaines manquantes pour faire 3 X 500. Le résultat apparaît sur le boulier = 1500

On note le résultat sous la décomposition à droite ainsi que sous le calcul à gauche. On peut ensuite décomposer la dernière multiplication à effectuer à droite : 3 X 4000

Après avoir remis encore le boulier à zéro, on procède à cette dernière multiplication. 4 milles une fois, 4 milles 2 fois... et oups, il ne reste que deux perles de mille à gauche et il m'en faut encore 4. 

Je déplace donc vers la droite les deux perles de 1000 restantes en comptant 1, 2...

... et j'échange les dix perles de 1000 contre une perle de 10 000 (donc les dix perles de 1000 sont déplacées à gauche et la perle de 10 000 est déplacée vers la droite)...

Et, je continue de compter ... 3, 4. (Rappelez-vous, j'avais compté 1, 2 perles vertes... il m'en manquait donc encore 2 autres pour que cela fasse 4). Difficile à expliquer par écrit parce que je dois tout décortiquer, mais en le faisant cela se fait rapidement et ce n'est donc pas mêlant (l'enfant compte 1, 2... change... 3-4). 

Le résultat de 3 X 4000 apparaît maintenant sur le boulier. L'enfant lit 12 000 sur le boulier...

Il va donc écrire 12 000 à droite sous la dernière décomposition ainsi qu'à gauche sous les autres résultats effectués précédemment. À gauche de la feuille, on voit les nombres que l'enfant devra additionner pour obtenir le résultat : 9 + 180 + 1500 + 12 000. 

L'enfant peut très bien faire cela par écrit et noter le résultat sur la feuille (13 689). 

Il peut ensuite se servir du boulier pour s'auto-corriger. Il effectue donc 9 ...

 + 180 ...

+ 1500 ... (ici, je n'aie pas collé tout de suite les 5 billes rouges à droite... cela afin de noter qu'il y avait déjà une bille rouge. On visualise donc ainsi le change). 

... + 12 000. Même chose ici : on voit bien sur la photo que les 2000 de 12 000 ont été ajouté à une perle de 1000 qui était déjà-là en raison d'un change que nous avons effectué.
Finalement, on peut lire le résultat de la multiplication  sur le boulier (4563 X 3=13 689). Ma grande aime aussi beaucoup vérifier ensuite son résultat avec une calculatrice. 

2e étape : 

Après une dizaine de multiplications comme la première étape, on peut présenter la 2e étape à l'enfant. 

Pour cette étape, l'enfant doit être bien avancé dans la mémorisation de la multiplication puisqu'il effectuera celle-ci dans sa tête. Ici, nous allons faire 6563 X 3. L'enfant décompose encore, à droite sur la feuille, les multiplications à effectuer. La première étant : 3 X 3 = 9. L'enfant note tout de suite la réponse sur sa feuille et déplace 9 perles d'unités (vertes) vers la droite (pas de photo ici, c'est exactement pareil que le début de la 1ère étape, d'autant que les unités à multiplier sont les mêmes ;).  

Pour cette étape, on ne remet pas le boulier à zéro, donc on laisse les perles ainsi et on poursuit avec la multiplication des dizaines. On décompose ensuite 3 X 60 qu'on écrit sur la feuille à droite. L'enfant connaît bien 3 X 6 = 18. Il connaît bien aussi la multiplication par 10. Il ne devrait donc pas avoir de difficulté à trouver que 3 X 60 = 180. Il note le résultat sur sa feuille et forme le résultat 180 sur le boulier. Voir la photo ci-dessus.

Ensuite, il écrit à droite la prochaine décomposition : 3 X 500. Il trouve le résultat dans sa tête (1500) et l'écrit à droite. Ne pas oublier d'écrire également les résultats à gauche.  

On déplace alors les perles du boulier pour former le nombre 1 500 (1 perle de mille verte et 5 perles de cent rouge). Sur la photo ci-dessus, je montre bien les 5 perles rouges des centaines que l'on ajoute à la perle des centaines déjà présente à droite (cela nous montre qu'il y a eu un change). 

Finalement, l'enfant écrit à droite la dernière décomposition (la multiplication des milliers) : 3 X 6000. Il écrit la réponse tout de suite (à droite et à gauche sur la feuille) puisqu'il connait la réponse (18 000).

On forme donc 18 000 sur le boulier (1 perle de 10 000 + 8 perles vertes des milliers à droite ; les 8 perles s'ajoutent à celle déjà présente qui dénote qu'il y a eu un change). 

Finalement, l'enfant effectue l'addition (à gauche) avec les résultats de chacune des décompositions effectuées pour faire cette multiplication. Résultat : 19 689. En regardant sur le boulier, si son calcul est exact, l'enfant devrait y lire 19 689. 

3e étape : 

Il s'agit de la dernière étape qui amène l'enfant vers l'abstraction complète (donc sur papier, sans le matériel).

Ici, la multiplication à effectuer est 3462 X 4. 

On demande à l'enfant d'effectuer la multiplication comme à l'étape 2. Ensuite, on mentionne à l'enfant qu'on va lui montrer une méthode plus rapide. On ré-écrit alors la multiplication à gauche (sous la première) (ici, 3462 X 4).

On commence par les unités, donc 4 X 2 = 8. L'enfant effectue le calcul dans sa tête, forme le résultat sur le boulier et écrit la réponse sur la ligne verte des unités. Rien de nouveau ici, car il n'y a pas de change.  

Ensuite, l'enfant effectue la multiplication des dizaines, donc 4 X 60 = 240. Il calcul toujours dans sa tête, puis forme le résultat 240 sur le boulier. Ici, on doit mettre en évidence la retenue 2. Pour ce faire, on la souligne en jaune dans la décomposition à droite. Ensuite, on va noter cette retenue sur notre équation à gauche. On dit à l'enfant «Je pose 4 et je retiens 2» en écrivant 4 sur la ligne du résultat des dizaines et 2 en haut à la ligne des centaines. Difficile à expliquer par écrit! Bref, l'enfant doit remarquer le change : sur le boulier, il voit les 2 perles rouges + à droite on souligne ce 2 en jaune + on écrit ce 2 (le change) en haut de notre équation de gauche sur la ligne rouge des centaines en disant «je retiens 2». 

Ici, j'ai montré à ma grande la façon de noter la retenue comme on l'apprend dans les écoles au Québec (donc en haut de l'équation, je note un petit 2 au-dessus des centaines). Dans le Guide Pédagogie Montessori Pas à Pas le calcul et les maths que j'utilise beaucoup (mes albums Montessori préférés), ils mettent plutôt la retenue complètement à part. 

On poursuit ensuite avec les centaines. 4 X 4 (centaines) = 16 centaines (1600) (calcul dans la tête). On note cette réponse sur le boulier. On rappelle à l'enfant qu'on a une retenue de 2 aux centaines. Donc, on doit dire «16 + 2=18».  Remarquez sur la photo ci-dessus, on voit bien les 2 perles rouges qui étaient déjà présentes (en raison du change précédent), et je dois en ajouter 6 autres. Même chose que tantôt : je souligne la retenue en jaune (1) à droite et je la note en haut de l'équation à gauche (sur la ligne des milliers). On dit «je pose 8 et je retiens 1»

On termine par les milliers : 4 X 3 milliers = 12 milliers (12 000). On rappelle à l'enfant la retenue de 1 mille. On dit alors «12 + 1 = 13. En déplaçant les perles du boulier vers la droite, on remarque bien ce 12 + 1 = 13 (on déplace 1 perle bleue des 10 000 et 2 perles vertes des milliers qui viennent s'ajouter à 1 perle verte des milliers qui était déjà à droite). Encore une fois, on dit à l'enfant «je pose 3 et je retiens 1». Comme il n'y a pas de 10 000 à multiplier, on peut tout de suite descendre ce 1 dans la colonne des 10 000 du résultat. 

Donc, la réponse est 13 848. C'est ce qui était déjà écrit en haut à gauche (premier calcul faites à la manière de l'étape 2) et c'est le nombre qu'on lit sur le boulier.

À présent, l'enfant peut faire ces multiplications directement (sans tout décomposer et sans boulier) en écrivant les changes.

Voilà! J'espère ne pas vous avoir perdu! hihi! C'est difficile à détailler par écrit parce qu'il faut tout décortiquer, tout détailler. En le faisant, cela s'enchaîne mieux que par écrit. ;) Je vous conseille donc de lire ce billet avec votre boulier pour faire les étapes au fur et à mesure. Ensuite, en refaisant tout cela par vous-même, vous allez voir que cela se fait très bien finalement! ;)

Après toutes ces étapes, nous pouvons montrer à l'enfant la multiplication à deux chiffres au multiplicateur avec le Damier. Je vous en parlerai prochainement. ;) Nous reviendrons ensuite au Grand Boulier pour encore faire des multiplications, mais, cette fois, avec deux chiffres au multiplicateur.