Addition, soustraction et multiplication avec la Table des hiérarchies

Maintenant que l'enfant a longuement travaillé avec les quantités des décimaux, les symboles des décimaux et la Table des hiérarchies, il peut à présent faire des additions, des soustractions et des multiplications (avec un multiplicateur entier pour commencer). Pour les multiplications avec un multiplicateur décimal, cela fera l'objet d'un autre billet où je présenterai le Damier de la multiplication. 

Addition

D'abord, voici comment présenter l'addition avec la Table des hiérarchies. Vous verrez, c'est assez simple puisque la procédure est exactement la même qu'avec le matériel des timbres. Je serai donc brève ; au besoin reportez-vous à mes articles sur les additions (statique et dynamique avec les timbres). ;) 

D'abord, nous demandons à l'enfant d'aller chercher une première quantité.

Ici, deux cent, trente, trois, deux dixièmes, six centièmes et quatre millièmes. Plus tard, pour plus d'autonomie, nous écrirons sur un papier l'addition à effectuer (d'abord avec les codes couleurs jusqu'à ce que vous sentiez que cela n'est plus nécessaire).

Il fait la magie du nombre et le place sur la Table des hiérarchies. 

Nous lui demandons d'aller chercher d'autres symboles. Ici, quatre dixièmes, deux centièmes, trois millièmes et deux dix-millièmes. 

Il fait la magie du nombre et place ce nombre sur la Table des hiérarchies. Le symbole + est placé entre les deux nombres à additionner. 

L'enfant pose alors les quantités correspondantes au premier nombre sur la Table des hiérarchies en commençant par les plus petites quantités comme nous le faisons toujours lorsqu'on additionne. Pour plus de clarté, j'enlève le nombre en symbole de la Table des hiérarchies (que je place simplement à gauche). ;)

Maintenant, l'enfant place les quantités correspondantes au deuxième nombre. 

J'enlève les symboles de la Table des hiérarchies (ils sont maintenant placés sous les autres symboles que j'ai placé à gauche... désolé, ce n'est pas visible sur la photo ;). Nous avons donc sur la photo ci-dessus, les deux quantités à additionner. Additionner, c'est mettre ensemble...

Nous allons donc prendre la quantité du bas et la monter avec les autres en haut en commençant par les plus petites quantités. Donc, sur la photo ci-dessus, on voit que j'ai commencé par monter les pastilles bleues pâles des dix-millièmes. 

Ici, tout a été mis ensemble.

Il ne reste plus qu'à compter pour trouver la réponse. Ici, cela n'a pas été nécessaire, mais si nous avions eu plus de 9 pastilles dans une catégorie, nous aurions procédé au change. ;)

Plus tard, vous montrerez à l'enfant comment écrire ces nombres sur une feuille en alignant bien les virgules des nombres à additionner et en respectant les couleurs des hiérarchies. L'enfant doit également bien aligner la virgule de la réponse. Les virgules se retrouvant tous alignées en ligne droite verticale. ;) Plus tard, il ne sera plus nécessaire de placer les nombres en symbole sur la Table des hiérarchies si l'enfant est à l'aise avec cela.

J'ai trouvé ici une vidéo sur Youtube pour visionner la procédure de l'addition avec la Table des hiérarchies : https://www.youtube.com/watch?v=z56rY-EMG6A

Sur le blog En classe avec Montessori, vous trouverez des cartes de calculs avec auto-correction pour travailler cette notion en autonomie. 

Soustraction

Pour la soustraction, nous commençons encore en demandant à l'enfant d'aller chercher les symboles pour le premier nombre.

Ici, l'enfant a pris 200 ; 30 ; 3 ; 0,6 ; 0, 08 ; 0,007 et 0,0006. Il a ensuite fait la magie du nombre et lu le nombre à voix haute. 

Il place alors les quantités de perles et de pastilles correspondantes à ce nombre sur la Table des hiérarchies.

Nous demandons les symboles du deuxième nombre (celui que nous voulons soustraire). Donc, ici, j'ai demandé : 4 dixièmes, 3 centièmes, 5 millièmes et 8 dix-millièmes. Il fait la magie du nombre, lit le nombre obtenu et place ce nombre sur la Table des hiérarchies sous le premier (avec le symbole de la soustraction (-) à gauche entre les deux nombres). Bon, il est possible de placer les symboles à côté de la Table également ou alors, éventuellement, de simplement écrire le calcul sur une feuille.  

J'ai donc enlevé les symboles ici puisque je trouve cela encombrant. L'enfant peut donc commencer la soustraction. Soustraire consiste à enlever une certaine quantité à la quantité de départ. Comme habituellement, et comme nous faisions lors de la soustraction avec les timbres, nous allons commencer par soustraire la plus petite quantité, donc ici les dix-millièmes (à droite complètement). Sur la photo ci-dessus, je commence donc à descendre les pastilles de dix-millièmes en comptant 1, 2, 3, 4, 5, 6. Je dois enlever 8 pastilles de dix-millièmes, mais je n'en ai plus (j'en ai que 6). Pour ce faire, je vais devoir faire un change pour obtenir plus de pastilles bleues pâles des dix-millièmes. 

Je vais donc prendre une pastille de la catégorie supérieure aux dix-millièmes, donc les millièmes (pastilles vertes). Je prends évidemment cette pastille de mon nombre de départ et non pas dans la boîte (je ne fais pas apparaître de nouvelles quantités ;). Je change donc 1 millième contre 10 dix-millièmes (voir, sur la photo ci-dessus, au centre de la Table des hiérarchies ou sur la photo ci-dessus de droite où j'ai isolé le change). Nous remettons donc la pastille verte des millièmes dans la boîte puisque nous l'avons changé en 10 pastilles bleues pâles des dix-millièmes. 

Je place ces dix-millièmes provenant du change en haut à la colonne des dix-millièmes. 

Je peux maintenant poursuivre ma soustraction. Il me restait deux pastilles à compter (et donc à descendre) pour soustraire 8 (j'avais déjà descendu 6 pastilles bleues pâles).

Je poursuis ainsi en descendant les pastilles des millièmes. Je compte 1, 2, 3, 4, 5 en les descendant. Il n'y a pas de change à effectuer cette fois.

Je poursuis ainsi avec toutes les autres catégories. 

Comme nous l'avons vu avec le matériel des timbres, la réponse se trouve en comptant les perles qui restent en haut. En effet, la réponse d'une soustraction, c'est ce qu'il nous reste de notre nombre de départ. Nous commençons par compter les catégories plus petites, donc les dix-millièmes (celles à droite). Donc ici, la réponse est 233,2518

Éventuellement, il n'est plus nécessaire de prendre les symboles. L'enfant peut écrire l'équation dans son cahier, réaliser l'opération avec la Table des hiérarchies et inscrire la réponse. Il est important de lui dire de bien aligner les virgules verticalement. Puisque cela fonctionne exactement comme avec les timbres, il est possible que l'enfant n'ait pas besoin de réaliser beaucoup d'addition et de soustraction avec cette Table. Il pourra alors passer rapidement à des calculs sur des feuilles sans matériel puisque les additions et les soustractions avec des nombres décimaux se calculent de la même façon qu'avec des nombres entiers. La seule nouveauté est la virgule qu'il faut veiller à toujours bien aligner afin que les hiérarchies se retrouvent toujours bien alignées (les millièmes sous les millièmes, les centièmes sous les centièmes, les dixièmes sous les dixièmes, la virgule sous la virgule, les unités sous les unités, etc. ;)  

Encore une fois, vous trouverez sur le blog En classe avec Montessori des cartes de calculs avec auto-correction pour travailler cette notion en autonomie.

Multiplication

Finalement, voici rapidement comment faire une multiplication avec la Table des hiérarchies. J'y vais rapidement puisqu'une multiplication, c'est une addition répétée du même nombre, donc il n'y a pas vraiment de nouveau. ;) Simplement, ici, avec ce matériel nous ne pouvons que multiplier un nombre entier avec un nombre décimal (et non pas l'inverse). De plus, nous ne pouvons multiplier de grosses quantités puisque cela prendrait vraiment trop de place, trop de temps, trop de quantité de pastilles et de perles, trop, trop. Hihi! Pour poursuivre avec ces multiplications de nombres décimaux, je vous présenterai bientôt comment faire avec le Damier des nombres décimaux (un autre magnifique matériel!!! ;). 

Donc voilà, ici nous allons réaliser la multiplication suivante : 3 x 0,324 (et non pas l'inverse 0,324 x 3 ; ce serait impossible ici, mais nous verrons comment faire avec le Damier des nombres décimaux comme je le disais). 

Donc, une multiplication, c'est une addition répétée du même nombre. Donc ici, 3 x 0,324 correspond à faire 0,324 + 0,324 + 0,324. Nous plaçons donc 3 fois la quantité 0,324 avec les pastilles. C'est ce que nous voyons sur la photo ci-dessus. 

Nous mettons toutes ces pastilles ensemble. 

Nous comptons pour obtenir la réponse en effectuant les changes lorsque nécessaire. Ici, j'ai 12 pastilles des millièmes. Je vais donc échanger 10 pastilles des millièmes contre une pastille de la catégorie supérieure donc 1 centième. 

Nous poursuivons en comptant les centièmes (7), puis les dixièmes (9).

3 x 0,324 = 0,972

Soustraction dynamique avec le boulier

Après la soustraction dynamique avec les timbres (avec change), on passe à la soustraction dynamique avec le boulier. C'est la dernière étape avant l'abstraction complète (calcul que sur papier sans le matériel). Bien sûr, l'enfant a déjà fait des soustractions statiques (sans change) avec le boulier.

1ère étape

Donc, ici, nous ferons 6261-2625. Pour la première présentation, on écrit d'abord que le premier nombre (6261) sur la feuille avec les lignes hiérarchiques (à gauche du boulier sur la photo). Comme pour l'addition, l'équation est inscrite en colonnes et l'enfant écrira sa réponse en bas sur les lignes de couleur (ces lignes reprennent les couleurs des perles du boulier... et aussi des timbres... Bref, c'est toujours les mêmes couleurs ;)). Comme toujours, l'enfant commence à inscrire ce premier nombre sur le boulier. 1 unité (perle verte en haut), 6 dizaines (6 perles bleus), 2 centaines (2 perles rouges) et 6 unités de mille (6 perles vertes en bas) vers la droite. NB : Je n'aie qu'un grand boulier, mais normalement, à cette étape, on utilise le petit boulier avec seulement les rangées pour les unités, dizaines, centaines et unités de mille. Ma grande s'y accommode très bien, mais évidemment les nombres plus bas l'intriguent énormément. ;)

On écrit ensuite le 2e nombre sur le papier (ici, 2625) et on montre à l'enfant comment procéder avec le boulier. On commence toujours par les unités, donc ici on veut enlever 5 unités (1 - 5 = impossible). On commence à soustraire les unités que nous avons en comptant... ici 1... (et il n'y a plus d'unité). 

On va donc procéder à un change afin de pouvoir poursuivre notre soustraction des unités. On va donc échanger 1 dizaine contre 10 unités. Pour se faire, avec le boulier, nous tassons une de nos perles bleus (dizaines) vers la gauche (on a maintenant 5 perles bleus à droite) et en même temps, on tasse les 10 perles vertes des unités (en haut) vers la droite. Voilà! On a échangé 1 dizaine (bleu) contre 10 unités (vertes). 

On peut donc poursuivre la soustraction des unités. On en a déjà enlevé 1, donc on poursuit notre soustraction en comptant 2, 3, 4, 5. Il reste donc 6 unités. Ici, on fait remarquer à l'enfant qu'il reste maintenant 5 perles des dizaines (en raison du change, nous avons une dizaine de moins qu'au départ).  

On poursuit avec les dizaines (bleus). 5 - 2 = 4. Ici, pas besoin de change, on peut enlever 2 dizaines et il en reste 3. 

Ensuite, on veut enlever 6 centaines (rouge), mais on en a que 2. Donc, on compte 1, 2 en tassant les centaines vers la gauche...

Ensuite, on change 1 mille pour 10 centaines. Donc, on range une perle verte des milles vers la gauche et en même temps, on tasse les 10 perles rouges des centaines vers la droite. 

Après ce change, on peut poursuivre la soustraction des centaines. On voulait en enlever 6, on en a déjà enlevé 2, donc on poursuit en comptant 3, 4, 5, 6 en tassant les perles comptées vers la gauche. Il reste donc 6 centaines après la soustraction. On fait remarquer à l'enfant qu'on a maintenant 5 perles vertes de mille puisqu'on en a échangé une.

Finalement, on soustrait les milliers en enlevant 2 perles vertes (celle de la rangée des milles). Il reste donc 3 perles de mille. 

Nous apercevons donc sur le boulier la réponse de notre soustraction : 3636

 2e étape

Lorsque l'enfant est bien avancé dans la mémorisation de la soustraction, il peut passer à la 2e étape de la soustraction dynamique avec le boulier. En effet, ici, l'enfant devra faire les calculs mentalement tout en utilisant le boulier. Voici comment procéder : 

Ici, nous allons calculer : 5497 - 2668. Donc, l'enfant inscrit le premier nombre sur le boulier (5497). 

On commence la soustraction par les unités. Donc, on veut soustraire 7 - 8. Impossible, donc on doit procéder à un change (changer une perle de 10 - perles bleues). Pour cette deuxième étape, on va tasser au milieu une perle de nos 9 dizaines (bleu). On va également mettre au milieu nos 7 perles des unités. On visualise donc la dizaine que l'on ajoute aux 7 unités afin de pouvoir soustraire 8 unités. On dit à l'enfant que l'on doit donc faire 17 - 8. (17 = nos 7 perles d'unités + les 10 perles du change). Ici, l'enfant fait le calcul dans sa tête (d'où l'importance d'être bien avancée dans la mémorisation de la soustraction).  

Donc 17 - 8 = 9. Donc, on tasse vers la gauche les 7 perles d'unités + la perle de dizaine que nous avions placé au milieu et on met 9 perles d'unités à droite. L'enfant écrit donc le résultat des unités sur sa feuille de calcul (9). On fait remarquer à l'enfant qu'on a maintenant 8 perles des dizaines (en raison du change). 

Ici, on a pu soustraire 8 - 6 = 2 (rangée des dizaines - perles bleus). L'enfant note le résultat des dizaines (2). 

Nous devons soustraire les centaines maintenant. 4 - 6 = impossible. Donc, même principe. On déplace au centre une perle verte des unités de mille pour montrer le change + les 4 perles des centaines. L'enfant doit donc faire 14 - 6 dans sa tête...  

Réponse : 8. Donc, on tasse les perles qu'on avait placé au milieu vers la gauche et on place les 8 perles rouges (notre réponse aux centaines) vers la droite. On note le résultat sur la feuille. On fait remarquer à l'enfant qu'il y a maintenant 4 perles de mille (plutôt que 5 auparavant... avant le change).

Finalement, on fait 4 - 2 = 2, donc on tasse deux perles de mille vers la gauche et on obtient notre résultat 2 milles. On note le résultat sur notre feuille et l'enfant lit la réponse 2829 et vérifie sa réponse en déroulant sa feuille de calcul hiérarchique (comme déjà montré ici pour l'addition avec le boulier). 

3e étape

Je n'aie pas prise de photo puisque cette étape est celle que nous connaissons tous. On montre simplement à l'enfant comment faire le calcul sur le papier en mettant la retenue en évidence (plus facile de ne pas l'oublier). L'enfant peut s'aider ou vérifier son calcul à l'aide du boulier s'il en ressent le besoin.

Voilà, l'enfant a franchi toutes les étapes pour la soustraction dynamique (avec change) : du concret avec les perles dorées, puis avec les timbres et finalement avec le boulier qui nous mène à l'abstraction complète en faisant les calculs que sur papier à la 3e étape. 

J'espère que c'est assez compréhensible! Je conviens que c'est assez ardu à lire tous ces calculs et manipulations! Une fois qu'on a compris, c'est très simple. ;) 

À ce stade, les étapes de l'addition dynamique ont été tous présenté, on a donc commencé à présenter les étapes de la multiplication. La première étant avec les perles dorées. 

  

Soustraction dynamique avec les timbres

Après la soustraction dynamique avec les perles dorées, on passe maintenant à la soustraction dynamique-avec change avec les timbres (pour les explications de la soustraction statique-sans change, c'est ici). 

L'enfant connaît déjà bien ce matériel des timbres, il connaît bien ce qu'est une soustraction et comprend également la notion de change lors d'une soustraction grâce au travail avec les perles dorées. Donc, ici, on travaille encore le change dans la soustraction, mais en faisant un pas de plus vers l'abstraction (l'enfant ne manipule plus des quantités, mais des symboles).

On écrit une équation (soustraction avec change) et l'enfant commence par placer les timbres pour le premier nombre. Ici : 2247

Ensuite, l'enfant commence à soustraire le deuxième nombre. Ici : 1168. Donc l'enfant doit faire 2247-1168. L'enfant constate qu'il ne peut pas enlever 8 unités puisqu'il n'en a que 7. L'enfant constate donc qu'il doit faire un change. Il prend un timbre d'une dizaine et l'échange contre dix unités (ici, ma grande a descendu une dizaine, placé 10 timbres d'unités à côté, et ensuite, elle a remise le timbre de 10 dans la boîte- à la banque). 

Il reste donc 9 unités après soustraction de 8 unités. 

Ensuite, on doit enlever 6 dizaines, mais il n'en reste que 3. Donc, encore même chose, on met un timbre de cent à la banque en échange de 10 timbres de dix.  

Maintenant, on peut enlever 6 dizaines, il en reste maintenant 7. 

On doit à présent soustraire une centaine. Il n'en restait qu'une, donc après soustraction, il n'y a plus de centaine. 

Finalement, on enlève un mille à deux milles, donc il en reste un. Donc, réponse : 1079. L'enfant, comme d'habitude, vérifie son résultat en déroulant le bas de la feuille. 

Ensuite se sera... soustraction dynamique avec le boulier! Ensuite, l'enfant pourra faire des soustractions dynamique directement sur papier sans matériel. Après toutes ces étapes, je constate avec bonheur comment ma grande parvient à faire des soustraction (sans change - avec change... même chose pour les additions) avec une grande facilité. 

Elle comprend très bien ce qu'elle fait sur papier et n'oubli pas d'effectuer les changes, et ce, même si avec la pédagogie Montessori, on ne montre pas obligatoirement la technique d'indiquer notre change en haut de notre équation (en indiquant un petit 1 pour les additions ou en barrant un chiffre pour indiquer que l'un brise une quantité). 

Edit : pour clarifier mon propos, j'ai prise une photo de la méthode traditionnelle d'apprendre les additions et soustractions sur papier (comme je les apprise). Ce que j'ai pointé avec les flèches rouges, c'est ce que l'on ne montre pas obligatoirement avec le matériel Montessori (la méthode Singapour le montre par contre). Je constate qu'effectivement, cette façon de faire n'est pas obligatoire lorsque l'enfant a vraiment compris ce qu'il fait, mais cela peut être utile pour certains afin de ne rien oublier. Pour les additions, ma grande ne le fait pas ; elle garde le change dans sa tête sans problème, donc y arrive sans erreur même si elle n'a pas indiqué son change. Pour les soustractions, elle le fait parfois lors de soustractions plus complexes, mais pas toujours. Bref, ces petites aides ne sont pas obligatoires, et ne sont pas systématiquement montrées avec la méthode Montessori, mais si l'enfant en a besoin, on lui montre. Pour les soustractions plus complexes cela aide bien ma grande a ne pas se mêler. ;) 

On peut bien sûr le montrer à l'enfant si on constate qu'il a tendance à oublier les changes sur papier pour l'aider. Ma grande ne le fait pas pour les additions, mais parfois pour les soustractions avec plusieurs changes lorsqu'elle fait ses exercices dans le cahier d'exercice de Singapour CE1. Méthode que je recommande d'ailleurs chaudement. Elle est bien compatible avec la pédagogie Montessori et elle présente des techniques visant à faciliter le calcul mental. Je constate, grâce à cette méthode, le bond énorme que ma grande a faites en calcul mental. L'année dernière, les calculs mentaux étaient encore 'pénibles' pour elle. À présent, elle parvient rapidement à trouver la plupart des résultats des équations qu'elle ne connaît pas encore tous par cœur. 

  

Après tout ça, l'enfant commencera à voir la multiplication avec les perles dorées.