Boulier doré (multiplication)

Il y a bien longtemps que je n'aie pas écrit d'articles de présentation de matériels Montessori, mais je m'y suis mis ardemment en soirée durant les vacances des Fêtes. ;) Vos gentils messages, vos différentes formes de soutien, m'ont donné l'énergie de m'y mettre. Plusieurs articles sont à venir! ;) Une façon pour moi de vous dire Merci!!! Je le répète sans arrêt, mais vraiment, merci d'être-là. Comment vous dire autrement 'merci'? Et bien, en partageant le fruit de mes recherches et expériences sur la pédagogie Montessori comme je le fais depuis déjà 5 ans. ;) 

Après le travail de la multiplication avec le damier, nous pouvons présenter la multiplication avec le boulier doré. Il s'agit de la dernière étape avant l'abstraction complète (réaliser des multiplications à plus d'un chiffre au multiplicateur directement sur papier).

Avant d'en être rendu-là, l'enfant a effectué un long parcours avec les multiplications.

- Multiplication avec les perles dorées (un chiffre au multiplicateur)
- Multiplication avec les timbres (un chiffre au multiplicateur)
- Multiplication par 10, 100 et 1000
- Multiplication avec le boulier (un chiffre au multiplicateur)
- Multiplication avec le damier (plus d'un chiffre au multiplicateur)
- Multiplication avec le Jeu de la banque (Euryale l'a présenté sur son blog ici et elle vend le document pour imprimer les cartes symboles ici. ;)
- Il est également possible de présenter la multiplication à plus d'un chiffre au multiplicateur avec la planche à clous. Je trouve cela très beau et révélateur visuellement. ;) J'en parlerai plus tard. ;)

En parallèle, l'enfant travaille sur la mémorisation de la multiplication :

- Les étapes de la mémorisation de la multiplication (table perforée, table des doigts...)
- Les autres façons de travailler la mémorisation de la multiplication avec différents matériels Montessori

Après ce long parcours, nous voici donc à présenter la multiplication avec le boulier doré.

Comme il s'agit d'un nouveau matériel, il faut d'abord le présenter à l'enfant en attirant son attention sur ses différentes composantes.

On constate que le haut de ce boulier est identique à ce que l'on retrouve à gauche sur le grand boulier (les mêmes hiérarchies, les mêmes couleurs). Contrairement au 'grand boulier', le boulier doré se tient à plat sur la table et à l'horizontal. À droite, on remarque les points colorés qui reprennent encore une fois les couleurs des unités de mille, centaines, dizaines et unités (de haut en bas). On observe ensuite une série de 0 en bas du boulier doré. Finalement, on remarque des lignes noires dans le fond du boulier doré. On fait remarquer à l'enfant que ces lignes sont reliées aux tiges de métal avec des perles de la même catégorie que le point : le point vert en haut (point qui représente les unités de mille) est relié aux perles de la catégorie des 1000. Le point rouge des centaines est relié aux perles de la catégorie des centaines (100), etc. Finalement, il faut noter que les perles doivent toujours être placées dans le haut du boulier lorsque nous commençons une multiplication. 

À l'instar de ce que nous avons fait lors de la présentation du 'grand boulier', nous allons montrer comment compter avec le boulier doré, comment effectuer les changes, comment lire et écrire des nombres sur ce boulier. 

Pour la première manipulation avec le boulier doré, l'enfant va compter de 1 à 900 000 000 en comptant les perles une à une. Exemple : sur la photo ci-dessus à gauche, l'enfant a compté '1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10'. Comme il a l'habitude avec le matériel Montessori, il sait ici qu'il doit effectuer un change pour continuer à compter. Il remontera en haut du boulier les dix perles des unités qu'il vient de compter et descendra une perle des dizaines (deuxième colonne en partant de la droite) (voir photo ci-dessus à droite). Il continuera donc en comptant '10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100'. Il effectuera un autre change et comptera '100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, etc. Je n'irai pas jusqu'à 900 000 000 ; je crois que vous avez compris. ;) 

Ensuite, pour mieux se familiariser avec ce boulier, on écrit sur une feuille un nombre et l'enfant doit représenter ce nombre sur le boulier. Ici, j'ai écrit le nombre 45 341 et ma grande l'a représenté avec les perles du boulier.  

On peut également placer nous-même des perles dans le bas du boulier et demander à l'enfant d'écrire sur une feuille le nombre qui est représenté par les perles. Ici : 2 136 032

Après quelques exercices comme ceux-ci, l'enfant est prêt pour sa première multiplication avec le boulier doré. 

Multiplication à un chiffre au multiplicateur :

J'écris sur une feuille l'équation 1326 x 3. Pour commencer, il s'agit d'une multiplication à un chiffre au multiplicateur (ici 3). On place le multiplicateur (ici 3) à droite sur le premier point vert (le point des unités). J'ai lu et vu sur You tube que les chiffres sur les jetons gris des multiplicateurs doivent être écrit en noir. Or, dans ma boîte des jetons du damier de la multiplication, ils sont écrits selon la couleur des catégories (vert, bleu, rouge). J'ai donc décidé d'écrire en noir au verso de ces jetons puisque je n'aie pas de jetons gris dont les chiffres sont écrits en noirs. Ensuite, sur une bande de papier, j'ai écrit le multiplicande (1326). Attention de bien placer les chiffres vis-à-vis les tiges de métal.      

Nous commençons par la première multiplication (3 x 6 = 18). L'enfant doit donc descendre 18 perles. Il commence en comptant '1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10'. Arrivé à 10, l'enfant doit effectuer un change...

Pour ce faire, l'enfant a remonté les dix perles des unités et a descendu une perle des dizaines (cette perle vaut effectivement 10).

L'enfant continu alors à compter jusqu'à atteindre 18 : '11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18'. Bien sûr, pour ce faire, l'enfant doit bien connaître les tables de multiplication qui ont été travaillé longuement. Si cela n'est pas le cas, il est possible de compter 3 paquets de 6 perles dorées (3 x 6).   

L'enfant effectue ensuite la multiplication 3 x 20 = 60. L'enfant descend donc 6 perles de la colonne des dizaines. Il y a à présent sept perles aux dizaines puisque nous avions déjà une perle de dizaine suite au change réalisé précédemment. 

On continue avec les centaines : 3 x 300 = 900. On descend donc 9 perles de la colonne des centaines. 

Finalement, on multiplie les unités de mille : 3 x 1000 = 3000. On descend donc 3 perles de la colonne des unités de mille. 

L'enfant lit alors le résultat obtenu : 3978 et l'inscrit sous l'équation sur une feuille. 

Multiplication à deux chiffres au multiplicateur : 

Ici, nous allons effectuer la multiplication 1425 x 53. Voici donc sur la photo ci-dessus comment disposer les jetons gris (3 sur le point vert des unités et 5 sur le point bleu des dizaines) et la bande de papier qui représente le multiplicande (1425).  

Pour débuter, nous allons commencer par multiplier les unités. Je mets donc de côté le 5 des dizaines qui ne sert pas pour le moment (normalement, nous retournons simplement le jeton gris qui n'est pas utilisé pour le moment, mais comme il s'agit de mes jetons du damier dont j'ai écrit au verso, je me retrouve avec un chiffre écrit au verso également. Oups! ;) Donc, bref, je le fais mettre de côté par ma grande au lieu de le retourner (elle le place vraiment à côté de son emplacement ; il ne faudrait tout de même pas l'oublier). ;) J'écris donc sur la feuille cette première multiplication que nous allons effectuer (1425 x 3). 

On commence par multiplier les unités (3 x 5 = 15). On compte donc 15 perles en les descendant une à une : '1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10'. J'arrive à 10, je dois donc effectuer un change. 

Voici, les 10 perles des unités ont été échangées contre une perle des dizaines. Pour ce faire, j'ai remonté les 10 perles des unités en même temps de descendre une perle des dizaines. L'enfant est déjà parfaitement familier avec ceci s'il a déjà travaillé avec les bouliers qui précédents le boulier doré. 

Après le change, on continue de compter les unités pour se rendre jusqu'à 15 (3 x 5) : '11, 12, 13, 14, 15'. Nous avons donc 5 perles de descendues sur la tige des unités et une perle sur la tige des dizaines (en raison du change). 

On poursuit avec la multiplication des dizaines (3 x 20 = 60). On descend alors 6 perles de la colonne des dizaines qui s'ajoutent à la perle qui était déjà descendue en raison du change de l'opération précédente.  

On passe alors à la multiplication des centaines (3 x 400 = 1200). On descend les perles des centaines : '1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10' ou '100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000', mais je trouve cela plus simple de compter de 1 à 10. ;) En effet, 3 x 400 = 12 centaines. ;)

Arrivé à 10, on doit donc effectuer un change. J'ai tâché d'illustrer ici le change : je monte les 10 perles des centaines et, en même temps, je descends une perle des unités de mille. 

Voilà, le change effectué, on peut donc poursuive le dénombrement des centaines...

...'11, 12'. 

Finalement, on multiplie les unités de mille du multiplicande (3 x 1000 = 3000). On descend alors 3 perles de la colonne des unités de mille qui s'ajoutent à la perle du change. 

Voici donc le résultat partiel : 4275 qui l'on inscrit sous notre équation décomposée. 

Nous allons maintenant multiplier la dizaine du multiplicateur (ici 5 dizaines). Il est important de penser à remettre toutes les perles dans le haut du boulier puisque nous commençons une nouvelle multiplication. J'écris l'équation décomposée : 1425 x 50 sur la feuille. Je replace le 5 sur le point bleu des dizaines et je retourne le 3 des unités puisque nous avons terminé avec lui (dans mon cas, je l'enlève parce que si je le retourne on verrait un autre nombre ;). 

On pointe alors à l'enfant le trait horizontal noir qui relie le multiplicateur 5 au fil de métal de la colonne des dizaines, et ce, afin de bien montrer que nous allons multiplier par 50 (et non par 5). On mentionne à l'enfant que cela équivaut à multiplier le 5 par 10 (5 x 10 = 50). 

Donc, puisque nous allons multiplier par 10, nous tassons notre bande de papier du multiplicande d'une catégorie vers la gauche pour faire apparaître un zéro rouge à droite. En effet, lorsqu'on multiplie par 10, on ajoute un zéro. L'enfant a pu constater ce fait grâce à la présentation de la multiplication par 10, 100 et 1000 avec le matériel des perles dorées. Maintenant que la multiplication x 10 a été effectuée, nous pouvons descendre le 5 sur le point vert des unités. En effet, en tassant la bande du nombre en bas, nous faisons apparaître le 0 qui indique que nous avons déjà procédé à la multiplication x 10. Il ne reste qu'à calculer x 5 et cela fera le x 50 (5 x 10 = 10). Vous me suivez? ;)

J'ai alors tout de suite noté le 0 sur ma feuille de calcul sous mon équation décomposée. Cela n'est pas obligatoire puisque le zéro ne pourra être oublié puisqu'on le voit bien sur le boulier. Je le faisais simplement pour mettre l'accent dessus et développer le réflexe de ne pas oublier ce fameux zéro puisque l'on multiplie des dizaines. Il ne s'agit pas ici de simplement dire qu'il faut mettre un zéro ; la compréhension du pourquoi nous mettons ce zéro est très importante et est bien comprise avec le matériel Montessori. ;)  

On procède alors aux multiplications. 5 x 5 = 25. On commence alors à compter en descendant les perles des dizaines '1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10'. Nous sommes loin du 25. ;)

On effectue un change (on monte les dix perles des dizaines en échange d'une perle de centaine que l'on descend). 

On continue de compter '11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20'. 

On effectue un autre change (les 10 perles des dizaines que l'on replace dans le haut du boulier en échange d'une autre perle des centaines que l'on descend).

Et on termine de compter en descendant les perles des dizaines pour se rendre à 25 : '21, 22, 23, 24, 25'. (5 x 5 = 25)

Nous effectuons maintenant la multiplication 5 x 2 (2 centaines) = 10. On compte en descendant les perles des centaines : '1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8'. Ici, on ne peut plus continuer puisqu'il ne reste plus de perles en haut (il y avait déjà deux perles des centaines de descendues en raison des changes précédents). 

On effectue donc le change (remonter les dix perles des centaines en échange d'une perle des unités de mille que l'on descend). 

On continue alors à compter en descendant des perles de la colonne des centaines à partir de là où nous étions rendu (8), donc '9, 10'. 

Nous sommes donc à multiplier les unités de mille du multiplicande. 5 x 4 (unités de mille) = 20 (20 unités de mille). On doit donc compter jusqu'à 20 en descendant les perles des unités de mille. Ici, il y avait déjà une perle de descendue lors du change précédent, donc nous comptons : '1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9'. Les dix perles des unités de mille étant descendues, nous devons effectuer un change. 

On monte les dix perles des unités de mille et on descend une perle des dizaines de mille en échange. 

On continue à compter pour se rendre à 20 à partir de là où nous étions, donc '10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19'. Encore une fois, toutes les perles des unités de mille ont été descendues, donc nous devons faire un change. 

On replace les dix perles des unités de mille en haut du boulier et on descend une autre perle des dizaines de mille en échange. 

On continue à compter en descendant les perles des unités de mille. Comme nous étions à 19, il ne reste qu'une perle à descendre pour se rendre à 20 (5 x 4 = 20 ; 20 unités de mille ou 2 dizaines de mille ;). 

Finalement, on multiplie les dizaines de mille : 5 x 1 (dizaines de mille) = 5 (dizaines de mille). On compte alors 5 perles que nous descendons de la colonne des dizaines de mille. Voici notre deuxième résultat partiel : 71 250 que l'on inscrit sur notre feuille dans la deuxième équation décomposée (1425 x 50 = 71 250). 

On revient à notre équation complète à gauche. On inscrit nos deux résultats partiels un en-dessous de l'autre. On procède à l'addition de ces deux résultats partiels et nous obtenons alors le résultat final : 75 525. Comme cette façon de décomposer la multiplication a été amplement réalisé avec le damier de la multiplication, j'ai rapidement proposé à ma grande de simplement écrire les résultats partiels immédiatement en-dessous de l'équation sans tout décomposer (je n'aie donc gardé que la partie de gauche). 

Multiplication avec trois chiffres au multiplicateur : 

Il y a franchement rien de nouveau ici. Par contre, je profite de cette multiplication pour montrer l'étape suivante avec le boulier doré telle que je l'aie présenté à ma grande. En réalité, c'est exactement la même chose, mais, simplement, au lieu de compter une à une les perles du résultat et d'effectuer les changes, nous inscrivons directement le résultat sur le boulier doré. Encore une fois, cela est possible lorsque l'enfant connaît bien les tables de multiplication et parce qu'il a déjà, à maintes reprises, effectué ce type de travail. Cela n'a aucunement été difficile pour ma grande, qui a même préféré procéder ainsi. Cela va en effet plus rapidement (lorsqu'on connaît bien les Tables de multiplication).

Nous avons donc la multiplication 4213 x 351. Nous allons commencer par multiplier les unités donc faire la multiplication 4213 x 1. J'ai encore une fois décomposé cette équation à droite, mais rapidement, j'ai laissé tomber cette façon de faire et ma grande inscrivait automatiquement les résultats partiels sous l'équation à gauche. 

Comme nous commençons par multiplier les unités, j'ai mis de côté les jetons des dizaines et des centaines du multiplicateur (on peut simplement les retourner à l'envers s'il n'y a rien d'inscrit de l'autre côté). ;)

Donc, facile pour la première multiplication : 1 x 4213 = 4213 (1 x 3, on descend 3 perles d'unité ; 1 x 1, on descend 1 perle de dizaine ; 1 x 2, on descend deux perles de centaine et 1 x 4, on descend 4 perles d'unité de mille). ;) Voilà la première multiplication effectuée. 

On retourne le jeton 1 (unité du multiplicateur) ou on l'enlève tout simplement. ;) On replace les perles dorées dans le haut du boulier avant de poursuivre avec la multiplication des dizaines du multiplicateur. Comme je l'aie déjà expliqué dans la multiplication avec deux chiffres au multiplicateur, nous montrons à l'enfant le trait noir horizontal qui relie le jeton du multiplicateur 5 au fil de métal des dizaines.  Nous allons multiplier le multiplicande par 50. J'ai alors écrit la décomposition de cette multiplication des dizaines (4213 x 50). On rappelle que cela revient à multiplier 5 par 10 (5 x 10 = 50). On rappelle donc que lorsqu'on multiplie par 10, on ajoute un zéro. 

Donc, pour multiplier par 10, nous déplaçons la bande de papier du multiplicande vers la gauche de sorte à faire apparaître un zéro rouge à droite. Pour ma part, j'ai alors déjà inscrit ce zéro sur ma feuille de décomposition à droite pour mettre l'accent sur ce zéro. On peut alors descendre le jeton gris 5 pour que le trait horizontal noir le relie à présent aux unités. En effet, nous avons déjà effectué la multiplication par 10, reste alors à multiplier 5 pour faire 50. ;) J'espère que je ne vous aie pas perdu. ;)  

On procède donc à la multiplication par 5. 5 x 3 (dizaines) = 15 (dizaines). On inscrit immédiatement ce résultat sur le boulier. Donc, je descends 5 perles des dizaines et 1 perle des centaines pour faire 15 dizaines ou 150. 

5 x 1 (centaine) = 5 centaines. Je descends donc 5 perles de la tige des centaines. 

5 x 2 (unités de mille) = 10 unités de mille. Je ne descends donc aucune perle aux unités de mille, mais une à la position des dizaines de mille (bah oui! Rappelez-vous, avant nous comptions '1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10', mais rendu à 10, nous procédions à un change en remontant ces dix perles des unités de mille en échange d'une perle des dizaines de mille que nous descendions). 

Reste alors à effectuer la multiplication 5 x 4 (dizaines de mille) = 20 dizaines de mille, donc 2 centaines de mille. Vous me suivez? J'espère! ;)

Voici donc notre deuxième résultat partiel : 240 650 que j'ai inscrit sur ma feuille (à droite). 

On remet le boulier à zéro (donc je remonte toutes les perles en haut) et nous allons procéder à la dernière multiplication (4213 x 300). J'ai alors inscrite cette équation décomposée sur ma feuille à droite. 

Multiplier par 300 équivaut à multiplier par 100 puis par 3. On rappelle à l'enfant que lorsqu'on multiplie par 100, on ajoute deux zéros. Je rappelle que ce n'est pas une information bêtement dites sans que l'enfant comprenne pourquoi puisqu'il a lui-même découvert ce fait en manipulant lors de la présentation de la multiplication par 10, 100 et 1000 avec les perles dorées. Nous allons donc déplacer le carton du multiplicande vers la gauche de sorte à faire apparaître un deuxième zéro. Nous pouvons alors descendre le carton 3 gris du multiplicateur puisque nous venons déjà de faire la multiplication par 100 en ajoutant deux zéros, reste alors à multiplier par 3 pour faire le 300 (3 x 100 = 300). ;) J'ai immédiatement écrit ces deux zéros sous mon équation décomposée (sur ma feuille à droite) pour bien mettre l'accent dessus. ;) 

J'effectue alors la multiplication 3 x 3 (centaines) = 9 (centaines). J'ai donc descendu 9 perles sur la tige des centaines. 

Puis, 3 x 1 (unité de mille) = 3 (unités de mille). J'ai donc descendu trois perles sur la tige des unités de mille.

3 x 2 (dizaines de mille) = 6 (dizaines de mille). J'ai donc descendu 6 perles sur la tige des dizaines de mille.  

Finalement, 3 x 4 (centaines de mille) = 12 (centaines de mille). J'ai donc descendu 2 centaines de mille et 1 unité de million pour faire 12 (centaines de mille).  

Voici donc ce troisième et dernier résultat partiel : 1 263 900. 

J'ai alors reporté ces trois résultats partiels sous mon équation (en haut à gauche) et j'ai procédé à l'addition de ces trois résultats (prévoir un peu plus d'espace que moi sur cette feuille hihi!). Résultat : 1 478 763. Ma grande vérifie alors son calcul à la calculatrice. 

J'ai lu plusieurs façons de faire, ceci est donc la manière que j'ai adopté chez moi. ;) J'ai vu ailleurs où les perles n'étaient pas remisent à zéro (donc remisent en haut) entre chaque résultat partiel. Le deuxième (et troisième résultat partiel) s'ajoutaient donc immédiatement au précédent. En effectuant les changes au fur et à mesure, le résultat total s'affichait alors immédiatement sur le boulier. Cette façon constituait une première étape avant de commencer à mettre le boulier à zéro entre chaque résultat partiel. Je trouvais cela plus complexe et non pas plus simple. ;) Si des personnes formées à la pédagogie Montessori m'informent que cela a son importance finalement, il me fera plaisir de refaire un billet pour vous montrer cette façon de faire. ;) 

Pour aider à la compréhension de ce que je viens d'expliquer (en ce qui concerne l'étape de la multiplication à deux chiffres au multiplicateur), voici une petite vidéo que j'ai trouvée sur You Tube. Elle est en anglais, mais c'est très visuel. Avec mes photos et explications détaillées en français, vous devriez vous en sortir puisque j'y suis arrivée. ;)  https://www.youtube.com/watch?v=wXm3eIb49kc

J'utilise toujours plusieurs références pour écrire mes articles : blogs, vidéos, albums, et j'en fais la synthèse afin de rendre cela plus clair dans ma tête. Cela me sert plus tard lorsque j'y reviens avec ma puce. ;) Pour cet article, le blog d'Euryale que j'adore (son blog et Euryale hihi!) m'a été très utile. Elle en a parlé ici et ici. Si vous y voyez des différences de présentation, c'est que j'ai fait une synthèse avec d'autres références (des vidéos comme celui que j'ai nommé dans le paragraphe précédent, ainsi que le Pas à Pas de l'école vivante (les maths pour les 6-12 ans). Sans possibilité de faire de formations Montessori, c'est ma bible. ;) 

N'hésitez pas si vous avez des questions. Parfois, c'est clair dans notre tête, mais à l'écrit il est parfois difficile d'expliquer tout cela de manière limpide et compréhensible. En espérant que cela ne soit pas trop indigeste et que cela soit utile. ;)

Dans les prochaines semaines, je publierai plusieurs de mes articles en chantier sur la pédagogie Montessori. Ils sont bien avancés pour la plupart ; ne manque que la relecture pour la correction et parfois quelques petits ajouts ici et là. J'espère que vous apprécierez mes petits 'cadeaux' du temps des Fêtes en retard pour vous dire 'merci'. ;)

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