Addition, soustraction et multiplication avec la Table des hiérarchies

Maintenant que l'enfant a longuement travaillé avec les quantités des décimaux, les symboles des décimaux et la Table des hiérarchies, il peut à présent faire des additions, des soustractions et des multiplications (avec un multiplicateur entier pour commencer). Pour les multiplications avec un multiplicateur décimal, cela fera l'objet d'un autre billet où je présenterai le Damier de la multiplication. 

Addition

D'abord, voici comment présenter l'addition avec la Table des hiérarchies. Vous verrez, c'est assez simple puisque la procédure est exactement la même qu'avec le matériel des timbres. Je serai donc brève ; au besoin reportez-vous à mes articles sur les additions (statique et dynamique avec les timbres). ;) 

D'abord, nous demandons à l'enfant d'aller chercher une première quantité.

Ici, deux cent, trente, trois, deux dixièmes, six centièmes et quatre millièmes. Plus tard, pour plus d'autonomie, nous écrirons sur un papier l'addition à effectuer (d'abord avec les codes couleurs jusqu'à ce que vous sentiez que cela n'est plus nécessaire).

Il fait la magie du nombre et le place sur la Table des hiérarchies. 

Nous lui demandons d'aller chercher d'autres symboles. Ici, quatre dixièmes, deux centièmes, trois millièmes et deux dix-millièmes. 

Il fait la magie du nombre et place ce nombre sur la Table des hiérarchies. Le symbole + est placé entre les deux nombres à additionner. 

L'enfant pose alors les quantités correspondantes au premier nombre sur la Table des hiérarchies en commençant par les plus petites quantités comme nous le faisons toujours lorsqu'on additionne. Pour plus de clarté, j'enlève le nombre en symbole de la Table des hiérarchies (que je place simplement à gauche). ;)

Maintenant, l'enfant place les quantités correspondantes au deuxième nombre. 

J'enlève les symboles de la Table des hiérarchies (ils sont maintenant placés sous les autres symboles que j'ai placé à gauche... désolé, ce n'est pas visible sur la photo ;). Nous avons donc sur la photo ci-dessus, les deux quantités à additionner. Additionner, c'est mettre ensemble...

Nous allons donc prendre la quantité du bas et la monter avec les autres en haut en commençant par les plus petites quantités. Donc, sur la photo ci-dessus, on voit que j'ai commencé par monter les pastilles bleues pâles des dix-millièmes. 

Ici, tout a été mis ensemble.

Il ne reste plus qu'à compter pour trouver la réponse. Ici, cela n'a pas été nécessaire, mais si nous avions eu plus de 9 pastilles dans une catégorie, nous aurions procédé au change. ;)

Plus tard, vous montrerez à l'enfant comment écrire ces nombres sur une feuille en alignant bien les virgules des nombres à additionner et en respectant les couleurs des hiérarchies. L'enfant doit également bien aligner la virgule de la réponse. Les virgules se retrouvant tous alignées en ligne droite verticale. ;) Plus tard, il ne sera plus nécessaire de placer les nombres en symbole sur la Table des hiérarchies si l'enfant est à l'aise avec cela.

J'ai trouvé ici une vidéo sur Youtube pour visionner la procédure de l'addition avec la Table des hiérarchies : https://www.youtube.com/watch?v=z56rY-EMG6A

Sur le blog En classe avec Montessori, vous trouverez des cartes de calculs avec auto-correction pour travailler cette notion en autonomie. 

Soustraction

Pour la soustraction, nous commençons encore en demandant à l'enfant d'aller chercher les symboles pour le premier nombre.

Ici, l'enfant a pris 200 ; 30 ; 3 ; 0,6 ; 0, 08 ; 0,007 et 0,0006. Il a ensuite fait la magie du nombre et lu le nombre à voix haute. 

Il place alors les quantités de perles et de pastilles correspondantes à ce nombre sur la Table des hiérarchies.

Nous demandons les symboles du deuxième nombre (celui que nous voulons soustraire). Donc, ici, j'ai demandé : 4 dixièmes, 3 centièmes, 5 millièmes et 8 dix-millièmes. Il fait la magie du nombre, lit le nombre obtenu et place ce nombre sur la Table des hiérarchies sous le premier (avec le symbole de la soustraction (-) à gauche entre les deux nombres). Bon, il est possible de placer les symboles à côté de la Table également ou alors, éventuellement, de simplement écrire le calcul sur une feuille.  

J'ai donc enlevé les symboles ici puisque je trouve cela encombrant. L'enfant peut donc commencer la soustraction. Soustraire consiste à enlever une certaine quantité à la quantité de départ. Comme habituellement, et comme nous faisions lors de la soustraction avec les timbres, nous allons commencer par soustraire la plus petite quantité, donc ici les dix-millièmes (à droite complètement). Sur la photo ci-dessus, je commence donc à descendre les pastilles de dix-millièmes en comptant 1, 2, 3, 4, 5, 6. Je dois enlever 8 pastilles de dix-millièmes, mais je n'en ai plus (j'en ai que 6). Pour ce faire, je vais devoir faire un change pour obtenir plus de pastilles bleues pâles des dix-millièmes. 

Je vais donc prendre une pastille de la catégorie supérieure aux dix-millièmes, donc les millièmes (pastilles vertes). Je prends évidemment cette pastille de mon nombre de départ et non pas dans la boîte (je ne fais pas apparaître de nouvelles quantités ;). Je change donc 1 millième contre 10 dix-millièmes (voir, sur la photo ci-dessus, au centre de la Table des hiérarchies ou sur la photo ci-dessus de droite où j'ai isolé le change). Nous remettons donc la pastille verte des millièmes dans la boîte puisque nous l'avons changé en 10 pastilles bleues pâles des dix-millièmes. 

Je place ces dix-millièmes provenant du change en haut à la colonne des dix-millièmes. 

Je peux maintenant poursuivre ma soustraction. Il me restait deux pastilles à compter (et donc à descendre) pour soustraire 8 (j'avais déjà descendu 6 pastilles bleues pâles).

Je poursuis ainsi en descendant les pastilles des millièmes. Je compte 1, 2, 3, 4, 5 en les descendant. Il n'y a pas de change à effectuer cette fois.

Je poursuis ainsi avec toutes les autres catégories. 

Comme nous l'avons vu avec le matériel des timbres, la réponse se trouve en comptant les perles qui restent en haut. En effet, la réponse d'une soustraction, c'est ce qu'il nous reste de notre nombre de départ. Nous commençons par compter les catégories plus petites, donc les dix-millièmes (celles à droite). Donc ici, la réponse est 233,2518

Éventuellement, il n'est plus nécessaire de prendre les symboles. L'enfant peut écrire l'équation dans son cahier, réaliser l'opération avec la Table des hiérarchies et inscrire la réponse. Il est important de lui dire de bien aligner les virgules verticalement. Puisque cela fonctionne exactement comme avec les timbres, il est possible que l'enfant n'ait pas besoin de réaliser beaucoup d'addition et de soustraction avec cette Table. Il pourra alors passer rapidement à des calculs sur des feuilles sans matériel puisque les additions et les soustractions avec des nombres décimaux se calculent de la même façon qu'avec des nombres entiers. La seule nouveauté est la virgule qu'il faut veiller à toujours bien aligner afin que les hiérarchies se retrouvent toujours bien alignées (les millièmes sous les millièmes, les centièmes sous les centièmes, les dixièmes sous les dixièmes, la virgule sous la virgule, les unités sous les unités, etc. ;)  

Encore une fois, vous trouverez sur le blog En classe avec Montessori des cartes de calculs avec auto-correction pour travailler cette notion en autonomie.

Multiplication

Finalement, voici rapidement comment faire une multiplication avec la Table des hiérarchies. J'y vais rapidement puisqu'une multiplication, c'est une addition répétée du même nombre, donc il n'y a pas vraiment de nouveau. ;) Simplement, ici, avec ce matériel nous ne pouvons que multiplier un nombre entier avec un nombre décimal (et non pas l'inverse). De plus, nous ne pouvons multiplier de grosses quantités puisque cela prendrait vraiment trop de place, trop de temps, trop de quantité de pastilles et de perles, trop, trop. Hihi! Pour poursuivre avec ces multiplications de nombres décimaux, je vous présenterai bientôt comment faire avec le Damier des nombres décimaux (un autre magnifique matériel!!! ;). 

Donc voilà, ici nous allons réaliser la multiplication suivante : 3 x 0,324 (et non pas l'inverse 0,324 x 3 ; ce serait impossible ici, mais nous verrons comment faire avec le Damier des nombres décimaux comme je le disais). 

Donc, une multiplication, c'est une addition répétée du même nombre. Donc ici, 3 x 0,324 correspond à faire 0,324 + 0,324 + 0,324. Nous plaçons donc 3 fois la quantité 0,324 avec les pastilles. C'est ce que nous voyons sur la photo ci-dessus. 

Nous mettons toutes ces pastilles ensemble. 

Nous comptons pour obtenir la réponse en effectuant les changes lorsque nécessaire. Ici, j'ai 12 pastilles des millièmes. Je vais donc échanger 10 pastilles des millièmes contre une pastille de la catégorie supérieure donc 1 centième. 

Nous poursuivons en comptant les centièmes (7), puis les dixièmes (9).

3 x 0,324 = 0,972