École des amours

École des amours

mercredi 5 avril 2017

Damier des nombres décimaux

Dans cet article, je vais vous présenter le damier des nombres décimaux. L'enfant est déjà familier avec ce type de matériel servant à faire des multiplications puisqu'il a déjà travaillé avec le damier de la multiplication (ce dernier servant à la multiplication des nombres entiers). 

Note : j'ai pris les photos avant que mon damier ne soit totalement terminé, ne vous arrêtez pas aux détails qui ne sont pas encore parfaits. ;) C'est la première fois que je présente un matériel sur mon blog avant de l'avoir présenté à ma grande. ;) Elle a hâte! ;) 

Les carrés de feutrine que vous apercevez sur le damier m'ont été généreusement envoyé par la maman du blog Choupinette découvre la vie : Montessori et précocité. Quelle belle surprise! Merci encore! ;) Je trouvais mon damier de la multiplication trop lisse et glissant ; ce ne sera pas un problème pour le damier des nombres décimaux. C'est tellement plus beau et tout doux avec de la feutrine! Ça donne envie de travailler avec n'est-ce-pas? 

Pour la planche de bois en-dessous et le contour du damier, j'ai, pour le moment, récupéré le grand carré en bois que j'utilisais pour la Table de Pythagore avec ma puce (les rectangles restaient davantage en place avec les petits rebords en bois ;). Il faudra simplement que j'enlève les rebords en bois à gauche et en bas, car pour le moment, la feutrine dépasse un tout petit peu (en enlevant ces deux côtés, cela va entrer parfaitement sur la planche de bois).

Par contre, il y a une autre raison pour laquelle je n'ai pas encore collé la feutrine. Celle-ci sert à la première présentation du damier des nombres décimaux. Il s'agit de construire le damier avec l'enfant. Marie-Hélène détaille ici cette activité très intéressante. Je crois que je vais devoir trouver une solution pour coller la feutrine temporairement afin de réutiliser les carrées pour cette activité avec ma puce dans quelques années. ;) Je suis preneuse d'idées si vous en avez afin que la feutrine tienne bien sans que j'ai à mettre de la colle permanente. ;) 

Sur le rebord en bois du haut, j'ai écris les nombres de 1 à 1 000 000 en partant de la droite (voir la photo ci-dessus). Le 1 au-dessus du carré vert foncé des unités, le 10 au-dessus du carré bleu foncé des dizaines, etc. Bref, encore et toujours les mêmes couleurs des hiérarchies que l'enfant connaît très bien s'il travaille depuis longtemps avec le matériel Montessori. ;)

Sur le rebord en bois de droite, j'ai écrit les nombres 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001... jusqu'à 0,000001. Le 1 à droite est à côté du carré vert foncé des unités ; le 0,1 est à côté du carré bleu pâle des dixièmes ; le 0,01 est à côté du carré rose des centièmes, etc. Bref, ces couleurs plus pâles, l'enfant s'y est familiarisé lorsqu'il a travaillé avec la Table des hiérarchies que je vous ai présenté dernièrement. ;)

Encore une fois, puisque c'est la première fois que l'enfant travaille avec ce matériel, nous allons lui présenter ces composantes.
D'abord, nous lui montrons la section des nombres entiers sur ce damier (la section où les carrés sont plus foncés avec les mêmes couleurs que pour le damier de la multiplication). 

Ensuite, nous lui montrons la section des nombres décimaux (la section où les carrés sont plus pâles et qui correspondent aux couleurs des pastilles avec lesquelles nous avons travaillé sur la Table des hiérarchies.  

Nous descendons un doigt le long de la ligne médiane des unités, celle-ci marquant la frontière entre les deux zones. 

Ensuite, comme nous l'avons fait lors de la présentation du damier de la multiplication, nous mentionnons à l'enfant que lorsque nous nous déplaçons vers la gauche sur le damier, nous multiplions par 10 à chaque changement de case. On le voit bien en regardant les nombres en haut (1, 10, 100, 1000, 10 000 ; à chaque bond vers la gauche, on multiplie par 10 le nombre précédent). Donc, inversement, si nous nous déplaçons de case en case vers la droite, nous divisons par 10. Ici, il s'agit d'un rappel puisqu'il l'a déjà vu avec le damier de la multiplication.

Nous lui montrons que le principe est le même du côté des nombres décimaux à droite. Chaque fois que l'on monte d'une case, on multiplie par 10. En bas du damier, nous retrouvons 0,000001 ; la case au-dessus est 10 fois plus, donc 0,00001 ; puis l'autre du dessus encore 10 fois plus, donc 0,0001 (sur la photo ci-dessus, nous voyons à partir de ce nombre (dix-millième). Vous pouvez donc suivre à présent sur la photo que la case au-dessus de 0,0001 est 10 fois plus grande, donc 0,001, etc. Vous comprenez? Nous multiplions par 10 de case en case en partant du bas vers le haut. Inversement, si nous nous déplaçons de case en case du haut vers le bas, nous divisons par 10. 

Pour s'assurer que l'enfant comprend bien, nous plaçons une perle sur le damier et nous demandons à l'enfant ce que vaut cette perle lorsqu'elle est placée sur cette case (exactement comme nous l'avons déjà fait lors de la présentation du damier de la multiplication). Sur la photo ci-dessus, elle vaut 1. 

Puis, nous la déplaçons vers la gauche. Ici, elle vaut donc maintenant 10. Le nombre au-dessus et la couleur de la case est-là pour nous le rappeler. Continuez ainsi vers la gauche sur la case rouge où la perle vaudra 100, etc. Ainsi, je suis l'ordre des cases. Lorsque l'enfant est à l'aise, placez la perle sans suivre l'ordre des cases (exemple : passez du carré bleu des dizaines au carré vert des dizaines de mille, etc)

Faites la même chose en descendant la perle. Donc, sur la photo ci-dessus, la perle vaut 1 dixième (0,1). Continuez en descendant la perle sur la case rose où elle vaudra 1 centième (0,01), etc dans cet ordre, puis dans le désordre. 

Faites la même chose avec une barrette plus grande. Exemple ici, la barrette de 3 est posée sur le carré rouge des centaines, elle vaut donc 300. 

Ici, la barrette de 3 vaut 3 centièmes. Inutile de passer beaucoup de temps sur cela si l'enfant est à l'aise, d'autant qu'il est déjà familier avec ce principe en ayant travaillé avec le damier de la multiplication.

Mentionnez que sur une même diagonale, toutes les cases ont la même valeur, exactement comme avec le damier de la multiplication. Donc, ici, sur la photo de droite ci-dessus, j'ai descendu ma perle de 1 sur la diagonale. Elle a encore la même valeur, donc 1. 

Si je continue à descendre, elle vaut encore 1, etc. 

Nous sommes maintenant prêt pour réaliser notre première multiplication avec ce damier des nombres décimaux. Nous allons ici calculer : 4213 x 1,34.
Nous allons donc placer les jetons du multiplicande en haut du damier et le multiplicateur verticalement comme sur la photo ci-dessus. Vous apercevrez également que j'ai placé une petite virgule à droite du chiffre 1 des unités pour bien représenter notre multiplicateur décimal (1,34). 

Nous pouvons donc commencer la multiplication. Pour multiplier, nous commençons, comme toujours, par les plus petites valeurs, donc ici, je vais commencer par le 4 du multiplicateur (les centièmes) que je multiplie avec les unités du multiplicande (3). 4 x 3 = 12. Je place donc une barrette de 2 sur le carré rose et une barrette de 1 sur la case à sa gauche (rappelez-vous, nous multiplions par 10 lorsque nous nous déplaçons vers la gauche, donc ici, la perle de 1 vaut effectivement 10. 10 + 2, ça fait effectivement 12. C'est exactement le même principe qu'avec le damier de la multiplication, donc au besoin, vous pouvez vous y référer. 

Nous poursuivons avec la multiplication 4 x 1 = 4, donc nous plaçons une barrette de 4 à l'intersection du 4 centièmes et du 1 dizaine. 

Ensuite, nous calculons 4 x 2 = 8. Nous plaçons donc une barrette de 8 à l'intersection du 4 centièmes et du 2 centaines. 

Finalement, nous calculons 4 x 4 = 16. Nous plaçons donc une barrette de 6 à l'intersection du 4 centièmes et du 4 milliers, puis nous plaçons une barrette de 1 à sa gauche afin de faire 10. Voilà la première rangée de complétée ; nous avons multiplié 4 centièmes avec chaque nombre du multiplicande. 

Nous passons donc aux dixièmes du multiplicateur que nous allons multiplier avec chaque nombre du multiplicande. Note : j'ai oublié sur la photo, mais lorsque vous avez terminé de multiplier un chiffre du multiplicateur, vous devez le retourner (donc le quatre des centièmes devrait être retourné ici ;) Donc, d'abord, nous multiplions 3 x 3 = 9. Nous plaçons donc une barrette de 9 à l'intersection du 3 dixièmes du multiplicateur et du 3 unités du multiplicande. 

Ensuite, j'ai été plus rapidement parce que c'est vraiment le même principe qu'avec le damier de la multiplication où j'ai tout détaillé déjà dans un autre article. ;) Sur la photo ci-dessus, j'ai effectué la multiplication 3 x 1 = 3, donc j'ai placé une barrette de 3 à l'intersection des dixièmes et des dizaines. Puis, 3 x 2 = 6, donc j'ai placé une barrette de 6. Finalement, 3 x 4 = 12. Nous plaçons donc une barrette de 2 à l'intersection de ces deux chiffres (3 dixièmes et 4 milliers), puis une barrette de 1 à sa gauche pour faire 10.  

Nous terminons en multipliant les unités du multiplicateur avec les nombres du multiplicande. Donc, 1 x 3 = 3 ; 1 x 1 = 1 ; 1 x 2 = 2 et 1 x 4 = 4. J'ai placé les barrettes de ces chiffres au fur et à mesure à l'intersection de ces multiplications. Voilà! Nous avons terminé les multiplications!

Au besoin, nous effectuons les changes si nous avons plus de deux barrettes sur une case. Sur la photo ci-dessus, nous avons une barrette de 4 avec une barrette de 1 sur une case bleue pâle. 

Nous la changeons donc en 5 (4 + 1). C'est tout pour les changes. Je me suis arrangée pour faire une multiplication simple. ;) L'important, c'est que vous compreniez la procédure. ;)

Pour connaître le résultat, nous allons devoir descendre toutes ces barrettes de perles en suivant bien les diagonales afin que les perles gardent la même valeur. Sur la photo ci-dessus, nous voyons que j'ai descendu la barrette de 2 sur la diagonale rose des centièmes. On fait de même pour toutes les autres barrettes. 

Voici ce que cela donne après avoir descendu toutes les barrettes en suivant bien les diagonales du damier.

Sur certaines cases, nous avons plusieurs barrettes. Nous allons donc devoir effectuer des changes pour n'avoir qu'une barrette par case. Donc, sur la photo de gauche ci-dessus, j'ai une barrette de 9 (bleue foncée) et une barrette de 5 (bleue pâle) sur la case bleue pâle des dixièmes. 9 + 5 = 14. Sur la photo de droite, j'ai donc placé une barrette jaune de 4 sur la case bleue où se trouvaient mes barrettes de 9 et de 5. Puis, j'ai placé une barrette de 1 rouge sur la case de gauche afin que cela fasse 10. J'ai donc bien 14.  

Ici, nous voyons que j'ai effectué le change de la case des unités. J'avais 8 + 3 + 3 + 1 = 15. J'ai donc placé une barrette de 5 sur cette case des unités et une barrette de 1 sur la case supérieure pour faire 10 (puisque, lorsque nous montons dans le damier, nous multiplions par 10 de case en case). 

Nous poursuivons les changes et voilà ce que nous obtenons à la fin (photo de droite ci-dessus). Notez également que j'ai placé une virgule entre la case verte des unités et la case bleue pâle des dixièmes en bas du damier. C'est pour ne pas l'oublier lorsque nous noterons le résultat sur notre feuille. Donc ici, le résultat est 5645,42. L'enfant réalise ensuite plusieurs multiplications de la sorte qu'il note sur une même feuille. Ainsi, après plusieurs multiplications, vous pouvez lui souligner le fait qu'il y a toujours le même nombre de chiffres après la virgule du résultat qu'après la virgule du multiplicateur, s'il ne l'a pas lui-même constaté. Nous pouvons lui expliquer que lorsque nous aurons à calculer des multiplications sur papier dont le multiplicateur ET le multiplicande ont des virgules, nous effectuerons notre multiplication comme nous le faisons avec des nombres entiers. Ensuite, pour déterminer la place de la virgule dans le résultat, nous compterons le nombre de chiffres après la virgule du multiplicateur + le nombre de chiffres après la virgule du multiplicande. Le nombre total de chiffres après ces virgules représente le nombre de chiffres que nous aurons après la virgule dans le résultat. Donc dans 45,162 x 6,52... nous avons 5 chiffres après la virgule. La réponse est 294,45624. Vous voyez : 5 chiffres après la virgule. Donc pour placer notre virgule après le calcul, nous comptons 5 chiffres en commençant par la droite. J'espère que vous me suivez! ;) 


Lors de mon billet sur les opérations avec la Table des hiérarchies (notamment la multiplication), je vous parlais qu'avec cette Table nous pouvons faire la multiplication 3 x 0,324, mais non l'inverse (0,324 x 3). Bon, vous me direz que c'est la même chose puisque la multiplication est commutative, mais c'est simplement pour vous montrer que ce type de calcul, où le multiplicateur est un nombre décimal, peut se calculer avec le damier des nombres décimaux. ;) Et puis, en réalité, même si le résultat est le même, ce n'est pas tout à fait la même chose. Exemple : aller chercher 3 fois 6 bananes à l'épicerie ce n'est pas la même chose qu'aller chercher 6 fois 3 bananes à l'épicerie. Vous aurez effectivement 18 bananes dans les deux cas, mais la deuxième situation va vous demander beaucoup plus de déplacements (6 déplacements vers l'épicerie) que la première situation (3 déplacements vers l'épicerie). ;)

Donc, rapidement : nous plaçons les jetons pour cette multiplication. 

Nous effectuons les multiplications en commençant par le bas et la droite (donc les plus petites valeurs). Donc, ici, j'ai commencé par calculer 4 x 3 = 12 (voir le résultat en perles sur la ligne du bas du damier sur la photo ci-dessus). Puis, 2 x 3 = 6 ; 3 x 3 = 9 et finalement 0 x 3 = 0 (donc la case du haut est laissée vide. ;)

Nous descendons toutes ces perles en suivant leur diagonale respective. Nous plaçons encore et toujours la virgule entre la case des unités (carré vert foncé en bas à gauche) et la case des dixièmes (carré bleu pâle en bas).  

Nous effectuons les changes pour n'avoir qu'une barrette par case et nous lisons le résultat : 0,972.

Voilà! J'espère que ces explications vous seront utiles!

7 commentaires:

  1. Oh là là, cet article tombe pile poil car j'ai justement acheté ce matériel il y a quelques semaines et lundi, je faisais des recherches pour savoir comment le présenter à mes élèves.

    Est-ce que tu connais le matériel pour faire la multiplication de 2 décimaux? Car je pensais que ce matériel le permettait mais finalement, je me rends compte que non!

    Encore merci pour tout ce partage.

    RépondreEffacer
    Réponses
    1. Cela me fait plaisir!

      Honnêtement, je l'ignorais, mais j'ai vu la réponse que tu as obtenu sur un groupe Facebook. Merci d'avoir posé la question! ;)

      Effacer
  2. J'ai oublié de poser une question. Quand j'ai reçu le damier des nombres décimaux, j'étais déçue de m'apercevoir qu'il n'y avait pas les étiquettes pour écrire le multiplicande et le multiplicateur, ainsi que la virgule.
    Je dois donc me les fabriquer.
    Pourrais-tu me dire si tu as trouvé ces étiquettes et virgule en téléchargement quelque part? Sinon, je ferai moi même un fichier!
    Encore merci de prendre le temps de partager avec nous tout le travail que tu fais pour tes filles.

    RépondreEffacer
    Réponses
    1. Les étiquettes des chiffres, j'ai pris les mêmes que j'utilise avec le damier de la multiplication. Si je me souviens bien, la boîte de ces nombres se vend séparément du damier. Mais bon, cela se fait facilement. ;)

      Pour les virgules, elles proviennent de ce document gratuit sur le site Apprends-moi autrement. ;) http://www.apprendsmoiautrement.fr/produit/conversions/

      Effacer
    2. Merci Sicosico pour ta réponse! Je vais me fabriquer les étiquettes. Comme tu dis, c'est facile à faire soi-même et autant garder l'argent pour autre chose!!
      Bonne journée

      Effacer
  3. du scratch (velcro, je ne sais pas comment vous appelez ça ;-) ) adhésif ? une pastille sur la feutrine (envers) et une pastille sur le bois ?

    RépondreEffacer