Les débuts du système décimal

Pour ce billet, je reviens sur les toutes premières présentations du système décimal avec les perles dorées. J'ai remarqué que j'avais détaillé toutes les opérations que l'on présente à l'enfant avec les perles dorées (grande addition statique (sans change), addition dynamique (avec change), grande soustraction statique, soustraction dynamique, multiplication et division), mais je n'ai pas consacré de billet détaillé concernant les premières étapes avec les perles dorées (donc avant de commencer les opérations). Comme ma puce a terminé les étapes de la numération de 1 à 10, je vais lui présenter le système décimal après les Fêtes. C'est l'occasion pour moi de faire une petite révision en même temps. ;)

La première étape consiste à présenter les quantités 1, 10, 100, 1000 avec les perles dorées. Note : Les perles doivent être placées dans le même ordre que sur la photo, car cela correspond au sens d'écriture des nombres (donc les milles en premier et les unités en dernier). 

Pour la première présentation, on procède à une leçon en 3 temps :  

1er temps :  On dit à l'enfant (en pointant les perles) « C'est 1», «C'est 10», «C'est 100», «C'est 1000»

Pour la première présentation, lorsque l'on nomme, on dit «c'est 1». En même temps, on cache cette perle dans notre main et on dit : «elle est toute petite, je peux la cacher dans ma main. Et toi?» et on laisse l'enfant le faire à son tour. Ensuite, après avoir dit «c'est 10», on cache la barrette de 10 dans notre main et on dit «je peux encore cacher cette barrette de 10 dans ma main et toi?». Avec leurs petites mains, il est fort probable qu'eux n'y parviennent pas. ;) Puis, quand on montre la plaquette de 100 et qu'on dit à l'enfant «c'est 100», on tente de cacher cette plaquette dans notre main. Impossible de la cacher parfaitement à moins d'avoir de grandes mains. ;) On montre à l'enfant que pour cacher cette plaquette, une seule main ne nous suffit pas, il faut utiliser nos deux grandes mains d'adultes. Finalement, lorsque l'on montre le cube de 1000 à l'enfant en disant «C'est 1000», on fait remarquer à l'enfant le poids et la grosseur de ce cube en disant «Il est lourd le cube de 1000» et on tente de le cacher avec nos mains. Cette fois, même avec nos deux mains, impossible d'y parvenir. Bref, toute cette petite mise en scène afin de faire prendre conscience de façon sensorielle de la différence entre chacune de ces quantités.

2e temps : On demande à l'enfant montre-moi 1, 10, 100, 1000 dans l'ordre, puis dans le désordre (montre-moi 10... montre-moi 1... montre-moi 1000...) etc. 

3e temps : On passe au 3e temps seulement lorsque l'on sent l'enfant vraiment prêt. On ne met jamais l'enfant en situation d'échec. Si on lui pose une question, c'est parce qu'on sait qu'il peut y répondre. Donc, pour le 3e temps, on demande à l'enfant «qu'est-ce que c'est?» en pointant l'unité, puis la dizaine, la centaine et finalement le millier. Ensuite, on pose toujours la même question, mais cette fois, en pointant les perles dans le désordre (exemple : «qu'est-ce que c'est?» en pointant la centaine. 

Lorsque l'enfant maîtrise cette première étape avec les perles, on passe à la deuxième étape ; la présentation des symboles. 

On place les symboles comme sur la photo 1000, 100, 10, 1. J'ai souvent parlé du code de couleur Montessori lorsque j'expliquais les démonstrations avec les timbres et le boulier. C'est ici que l'enfant rencontre pour la première fois ces couleurs. Les unités seront donc toujours en vert, les dizaines en bleu et les centaines en rouge. Ensuite, on retourne au vert, car c'est une unité de mille... on change de hiérarchie. On n'explique pas cela à l'enfant. Il le verra et le comprendra lors de la présentation des Grandes hiérarchies dont j'ai parlé dernièrement.  

Pour la présentation de ces symboles, on procède de la même façon que lors de la présentation des perles. L'enfant connaît déjà les symboles 1 et 10. Il pourra donc les nommer lui-même. Ensuite, on dit à l'enfant : «c'est 100»... «c'est 1000». C'est le 1er temps. On peut nommer à nouveau les symboles, mais cette fois, en demandant à l'enfant combien il voit de zéro. «C'est 1 (en montrant le symbole 1), c'est 10 (en pointant le symbole 10)... combien tu vois de zéro?» L'enfant répond «1». Ensuite, on dit : «c'est 100... combien tu vois de zéros». L'enfant répond «2». Finalement, on montre le symbole 1000 et on dit : «c'est 1000, combien vois-tu de zéros?». L'enfant répond «3». Ensuite, on passe au 2e temps : montre-moi 1, montre-moi 10, montre-moi 100, montre-moi 1000. Puis, on demande dans le désordre. Finalement, quand l'enfant est prêt, on passe au 3e temps et on demande «qu'est-ce que c'est?» en pointant les quantités dans l'ordre, puis dans le désordre. J'ai expliqué rapidement, mais c'est exactement la même chose que lors de la présentation des perles. Une leçon en 3 temps façon Montessori se déroule toujours ainsi! ;) C'est à retenir, on la fait souvent pour plusieurs activités! ;) Pour les explications détaillées de la leçon en 3 temps, j'ai adoré ce billet sur le blog de Family and co. Elle en a parlé souvent avec plusieurs activités : vous pouvez écrire «leçon en 3 temps» dans le moteur de recherche de son blog et vous en trouverez plusieurs. Il y a aussi le billet sur le blog de Montessori chez les Petits Pois. Il y en a plusieurs autres, mais ceux-ci furent mes excellents guides à mes débuts. 

Lorsque l'enfant connaît bien les symboles, on passe à la troisième étape : la présentation des perles + symboles ensemble. On demande à l'enfant d'associer les symboles aux perles. Cela se fait très bien si l'enfant connaît bien le nom des quantités (perles) et le nom des symboles.

Ensuite, on montre à l'enfant ces symboles superposés.

Lentement, on lit le nombre en pointant chaque catégorie au fur et à mesure qu'on les dit : 1000-100-10-1 (ici, on ne dit pas 11, mais bien 10 et 1. On veut insister sur la construction des nombres, sur la compréhension. Le vocabulaire des dizaines sera vu avec la 1ère Table de Séguin plus tard). Avec Montessori, on isole les difficultés et on y va progressivement.

Quatrième étape : On montre à l'enfant comment passer d'une catégorie à l'autre. 

Pour ma part, j'avais procédé de cette façon avec ma grande (cliqué sur les mots 'cette façon' pour les détails de cette présentation). Donc, simple petit retour rapide ici. C'est à ce moment que j'avais appris à ma grande que '1' peut aussi se dire 'une unité', '10', se nomme aussi 'une dizaine', '100' = 'une centaine' et '1000' = 'un millier' (ou une unité de mille). 

Donc, on montre à l'enfant qu'une barrette de 10 (une dizaine) est fait de 10 perles d'unités. On demande à l'enfant de construire une barrette de 10 avec les perles des unités en les posant à côté d'une barrette de 10. Ainsi, l'enfant constate visuellement qu'il a besoin de mettre 10 perles d'unités pour construire une barrette de 10. On dit à l'enfant : «Tu vois, pour faire une dizaine, il faut 10 unités». 

Même chose avec la plaquette de 100 que l'enfant construit avec 10 barrettes de 10.

On peut ensuite superposer la plaquette de 100 sur les dix barrettes de 10 pour montrer que c'est la même quantité. On dit à l'enfant : «Tu vois, pour faire une centaine, il faut 10 dizaines».

On fait de même pour le cube de mille. On demande à l'enfant de construire le cube de 1000 avec les plaquettes de 100. Il constate, qu'encore une fois, il en faut 10 pour faire un cube de 1000. «Tu vois, pour faire un millier, il faut 10 centaines». 

Lorsque cela est bien compris, on peut demander à l'enfant «combien faut-il d'unités pour faire une dizaine?» «combien faut-il de dizaines pour faire une centaine?» «combien faut-il de centaines pour faire un millier?». L'enfant devrait répondre «10», «10», «10». Il faut bien-sûr s'assurer que le vocabulaire : unité, dizaine, centaine, millier est bien intégré avant de poser ces questions. 

Cette étape est bien importante pour la compréhension du système décimal. Il est important que l'enfant comprenne que chaque fois que l'on atteint 9 dans une catégorie, si on en ajoute encore un, on change de catégorie (exemple : après 9 unités, si j'ajoute une autre unité, on change de catégorie puisqu'on arrive à 10 unités. 10 unités, c'est 1 dans la catégorie supérieure, donc 1 dizaine) Pour une présentation précise et détaillée, j'ai beaucoup aimé ce billet du blog Family and co. Je n'avais pas procédé ainsi à l'époque (ce billet de Family and co n'avait pas encore été écrit), mais je crois bien que je ferai ainsi pour ma puce. Donc, après lui avoir fait construire les catégories (dix unités vis-à-vis une barrette de 10, etc), je vais revenir sur cette notion en suivant les étapes du blog de Family and co. Comme cette étape est bien importante, je crois que ces deux façons de faire sont parfaites pour bien intégrer cette notion. Bref, je vais demander à ma puce de construire une dizaine avec les unités, puis une centaine avec les dizaines et finalement un mille avec les centaines. Ensuite, je vais suivre les Étapes «Si j'en avais une de plus...» : Étape 1, Étape 2 et Étape 3 du blog de Family and co. Cela prépare déjà à la notion de change de façon très concrète! C'est génial!

Cinquième étape : Ensuite, on joue à la «banque» avec notre enfant avec les perles. «Apporte-moi 4-100 (ou 4 centaines) s'il vous plaît», «apporte-moi 6-1000 (ou 6 milliers) s'il vous plaît», «apporte-moi 3-dix (ou 3 dizaines) s'il vous plaît». 

Pour le dernier exemple, l'enfant nous apportera donc 3 -dix. On ne dit pas encore 30 puisque l'enfant n'a pas encore acquis le vocabulaire à ce stade. Il le verra avec la 2e Table de Séguin (elle est présentée lorsque la 1ère Table de Séguin est acquise). Aussi, ici, on travaille sur la compréhension du système décimal. L'enfant doit bien comprendre que trente, c'est 3 dizaines. Le vocabulaire des dizaines n'est vraiment pas évident en français. Donc, tant que l'enfant n'a pas vu la 2e Table de Séguin, l'enfant dira 3-dix. On travaille d'abord sur la compréhension de façon très concrète avant de présenter le vocabulaire. C'est toujours ainsi avec la pédagogie Montessori. Ma puce manipule sensoriellement depuis longtemps les formes du Cabinet de géométrie et les Volumes bleus (il y a plusieurs étapes pour relancer l'intérêt et faire progresser les manipulations). C'est seulement après avoir longuement manipulé que je lui apprendrai prochainement le vocabulaire par une leçon en 3 temps. ;) Bon, les termes 'triangle, carré, rectangle, cercle, ovale, losange' sont déjà bien connus simplement en observant les formes du quotidien et les livres. Ce sera pour les formes plus complexes et les volumes! ;)  

Ensuite, on peut demander à l'enfant de nous apporter 2 catégories. Exemple : «apporte-moi 6-dix et 3-cents s'il vous plaît».

L'enfant nous apporte la quantité demandée et on compte devant lui : «1-dix, 2-dix, 3-dix, 4-dix, 5-dix, 6-dix. J'ai bien 6-dix». On compte aussi les centaines : «un cent, 2-cents, 3-cents. J'ai bien 3-100». Et on poursuit avec une autre catégorie : «j'aimerais 4-cents s'il vous plaît». Tant que l'enfant s'amuse, on peut poursuivre. On peut aussi varier et lui donner une quantité X dans un plateau et lui demander «combien il y a?». Exemple : on lui présente un plateau avec 6-mille. Il doit compter et dire «6000». Puis, on recommence avec une autre catégorie. Etc, etc, etc. On peut jouer longtemps ainsi tant que l'enfant ne s'en lasse pas. 

Puis, plus tard on peut demander 3, puis 4 catégories à la fois. Exemple : «apporte-moi 2-dix, puis 5-cents, puis 4-mille». Il est important de ne pas demander à l'enfant «apporte-moi 4520». Il faut bien décortiquer chaque catégorie à ce stade. Je me souviens avoir fait cette erreur avec ma grande (qui était en maternelle à l'époque). Elle m'avait regardé avec des grands yeux en point d'interrogation. ;) À ce stade, l'enfant peut très bien apporter 4-mille, puis 5 cents, puis 2-dix. Par contre, il ne parvient pas encore à apporter 4520. Il le pourra après avoir vu la magie du nombre. Là, il comprendra comment les catégories se combinent pour former un nombre. Pour le moment, on demande à l'enfant plusieurs catégories (l'enfant doit exercer sa mémoire pour se souvenir de toutes les catégories à apporter), mais on distingue bien les catégories (exemple : «apporte-moi 3-mille, puis 6-cents, puis 2-dix, puis 7 unités» ; on ne dit pas «apporte-moi 3627). Dans cet exemple, l'enfant doit se souvenir des quatre catégories pour pouvoir les apporter. Note : On demande à l'enfant de toujours nous apporter les unités en premier, puis les dizaines, puis les centaines et finalement les milliers. Il est bien de prendre déjà la bonne habitude puisque c'est ce qu'il devra faire lorsqu'il commencera les opérations avec le matériel (perles, puis timbres, puis boulier). 

Après ce jeu de la banque avec les perles, on passe à la sixième étape : Présenter le tableau des symboles. Voici le billet que j'avais écrit lorsque je l'avais présenté à ma grande. 

 

On commence la présentation avec le tableau vide. À côté, on place les étiquettes qui vont dans le tableau. Elles sont classées par catégorie : les unités ensemble, les dizaines ensemble, les centaines ensemble et les milliers ensemble. 

On commence par les étiquettes des unités (on commence toujours par les unités, pour finir par les milliers ;). On montre le 1 à l'enfant et on lui dit : «Tu connais ça?» Il répondra «c'est 1». On place le 1 dans le tableau en haut à droite. On dit à l'enfant que cette colonne est la colonne des unités.

On demande alors à l'enfant de placer les autres unités dans cette colonne des unités, dans l'ordre.  

Ensuite, on dit «après 9 unités, c'est 10 unités et 10 unités c'est 1 dizaine». Ensuite, on prend les étiquettes des dizaines et on montre à l'enfant le 10. On dit : «Tu connais ça?». L'enfant va répondre «c'est 10». On place alors le 10 en haut dans la 2e colonne (celle à gauche des unités). On dit alors à l'enfant que ceci est la colonne des dizaines.

On montre ensuite le 20 à l'enfant en le plaçant sous le 10. On fait remarquer à l'enfant le 2 en disant «c'est 2 dizaines ou 2-dix». L'enfant place ensuite les autres étiquettes des dizaines. Comme il connaît parfaitement la numération de 1 à 9, cela ne lui cause aucun problème de placer ces symboles en disant : «2-dix, 3-dix, 4-dix, 5-dix...» etc. Comme déjà mentionné, le but ici est la compréhension... le vocabulaire exact viendra plus tard lorsque la compréhension sera parfaite. ;)

Pour les autres catégories, on procède de la même façon. On montre le 100, on dit «c'est la colonne des centaines» et on place le 100 en haut. L'enfant place les autres étiquettes en disant : «200, 300,...). Même chose pour la colonne des milliers. 

Ensuite, on peut longuement jouer avec ce tableau pour faire travailler l'enfant. 

- on peut demander à l'enfant de nous pointer des étiquettes sur le tableau. Exemple : «montre-moi 4-dix», «montre-moi 5-cents», etc. 

-on peut lui demander de nous donner le symbole «4000», le symbole «5 unités», etc. 

-comme avec les perles, on peut ensuite lui demander plusieurs catégories pour exercer la mémoire. Exemple : «apporte-moi le symbole 4 unités, puis 3-dix». On peut demander 2 catégories à la fois, puis 3, puis 4.

-on peut mettre quelques symboles à la mauvaise place dans le tableau et l'enfant doit remettre le tout en ordre.

-on peut enlever une des étiquettes et demander : «quelle est l'étiquette qui manque?»

-Ensuite, on peut revenir à l'association des perles avec les symboles qui a été brièvement présentée à l'étape 3 (noter : ces numéros d'étapes sont une numérotation tout à fait personnelle pour aider à décortiquer les différentes étapes et voir la progression). Donc, on peut montrer à l'enfant le symbole 5 et lui demander d'aller nous chercher la quantité de perles correspondantes.

Autre exemple ici ; je donne le symbole 3-dix. L'enfant doit donc nous apporter trois barrettes de 10.

-on peut aussi faire l'inverse : on donne une quantité de perles à l'enfant et il doit nous apporter le symbole correspondant à cette quantité.

Exemple : je donne quatre plaquettes de 100 à l'enfant. Il doit donc nous apporter le symbole 400.

-ensuite, on peut demander plusieurs catégories à la fois.

Exemple : on donne les symboles 2000 et 400. L'enfant doit donc nous apporter quatre plaquettes de 100 et deux cubes de 1000. On peut aussi faire l'inverse. On donne quatre plaquettes de 100 et deux cubes de 1000 à l'enfant et il doit aller chercher les symboles correspondants.

-Ensuite, on peut demander à l'enfant trois catégories, puis 4 catégories.

Exemple : on donne à l'enfant deux cubes de 1000, quatre plaquettes de 100, trois barrettes de 10 et 2 unités. L'enfant doit nous apporter les symboles correspondant. On peut aussi faire l'inverse : on donne les symboles et l'enfant doit nous apporter la quantité de perles correspondantes. Veillez à ce que l'enfant commence par les unités, puis les dizaines, centaines et finalement les milliers. 

Ensuite, on présente la Magie du nombre.

Donc, on place une certaine quantité de chaque catégorie de perles dans le plateau. On demande à l'enfant d'aller chercher les symboles correspondants. Bref, c'est ce qu'on lui demande de faire depuis quelque temps, donc il sait très bien le faire. 

Ensuite, on superpose les étiquettes comme sur la photo. L'étiquette des milliers, puis celle des centaines est placée dessus, puis celle des dizaines et finalement celle des unités qui se retrouve sur le dessus. On place les étiquettes alignées toutes à gauche de sorte qu'on se retrouve avec plusieurs zéros. On montre cela à l'enfant en disant «mais cela n'est pas possible». En effet, cela forme un nombre, mais cela ne représente pas la quantité dans le plateau et cela ne respecte pas le code des couleurs (les couleurs ne sont pas dans le bon ordre). On dit alors à l'enfant que l'on va faire un tour de magie. On place les étiquettes à la verticale comme sur la photo ci-dessus...

... et tranquillement, on fait glisser les étiquettes vers le bas. 

Et voilà le nombre qui apparaît. L'enfant peut ainsi lire le nombre. Au début, si besoin, il peut s'aider en soulevant les étiquettes pour bien voir le nombre de zéros et ainsi bien lire ce nombre. L'enfant lira ici : «2-mille, 4-cents, 3-dix et 2». 

Je vous met ici le lien du blog Journal Montessori qui explique bien la magie du nombre. À la fin, il y a un petit vidéo ; ce qui est génial pour la compréhension de la manipulation des étiquettes pour faire la magie du nombre et lire le nombre ensuite. ;)

Beaucoup plus tard, vous pourrez demander à l'enfant des nombres pour lesquels il manque une catégorie. Exemple : 6000 - 40 - 6. L'enfant ira chercher les perles correspondantes et constatera qu'il n'y a pas de centaine. En faisant la magie du nombre, il constatera également qu'il y a un zéro rouge (la position des centaines). 

Voilà! L'enfant s'exercera longuement à faire ainsi la magie du nombre.

Note :  Toutes ces étapes ne se déroulent évidemment pas le même jour. On y va au rythme de l'enfant. Il est important de prendre le temps de bien installer les bases du système décimal. 

C'est après ce long travail progressif de la familiarisation avec le système décimal que l'on pourra montrer à l'enfant comment faire les premières opérations avec les perles dorées. On commence d'abord avec la présentation de la Grande addition avec les perles dorées (statique = sans change). Suivra
- l'addition statique avec les timbres
- en parallèle, on montre la 1ère Table de Séguin (nombre de 11 à 19). Lorsque la 1ère Table de Séguin est acquise, l'enfant peut commencer les étapes de la mémorisation de l'addition.
- également en parallèle, l'enfant commence la Grande soustraction statique avec les perles dorées.
- on poursuit avec l'addition statique avec le boulier.
- Pour la soustraction statique, on progresse comme pour l'addition, mais avec un léger décalage pour ne pas travailler les deux opérations avec le même matériel. Donc, après la soustraction statique avec les perles, on passe aux timbres, puis au boulier. En parallèle, l'enfant commence la mémorisation de la soustraction.
- Ce sera ensuite un retour aux perles dorées pour présenter l'addition dynamique (avec change). L'enfant devra donc avoir vu «le change» que j'ai montré à ma grande lors de la présentation de la 2e Table de Séguin. 
- Retour aussi aux perles éventuellement pour la soustraction dynamique (avec change). Puis, les timbres, puis le boulier.
- Éventuellement, on commencera à montrer la multiplication avec les perles dorées. Puis viendra un peu plus tard la division avec les perles dorées. La mémorisation de ces opérations commencera également en parallèle.

Voilà une tentative d'ébauche des étapes des opérations qui suivent la présentation du système décimal. Je dis bien «ébauche» parce qu'il est difficile de faire un plan exact puisque plusieurs activités se chevauchent. Aussi, cela dépend du rythme de l'enfant et du rythme de vos présentations. ;) L'important est de retenir :
-  l'ordre : perles dorées, timbres, boulier.

- voir l'addition et la soustraction en parallèle (et la multiplication en parallèle avec la division), mais avec un matériel différent. Donc, si on voit l'addition statique avec les timbres, on présente la soustraction statique avec le matériel qui vient avant (le plus concret), donc ici les perles dorées
.  

J'ai profité de ce billet-retour sur les bases du système décimal pour remettre à jour mes autres billets sur les différentes opérations (addition, soustraction, multiplication, division). Pour chacun de mes billets, j'ai inséré le lien vers la prochaine étape. Ainsi, vous pourrez suivre les étapes en mathématique avec les billets présents sur ce blog. Il n'y a évidemment pas encore tout pour la multiplication et la division puisque j'y suis présentement avec ma grande, mais cela viendra. ;)

AJOUT : Il y a également cette merveilleuse formation en ligne 3-6 ans de Myriam de Apprends-moi autrement! Ça, c'est que j'aurais aimé avoir à mes débuts pour passer moins de temps à chercher, à lire, à me questionner. Ici, tout est regroupé, tout est clair! Le bonheur! Les inscriptions ne sont pas ouvertes tout le temps, mais vous pouvez vous inscrire sur la liste pour être avertie lorsque la prochaine session ouvrira). C'est simplement afin que Myriam est le temps d'accompagner chaque participant qui aurait des questions ou qui aurait besoin d'éclaircissement.

J'espère que tout cela aide à vous démêler et vous permettra de progresser pas à pas dans la présentation des opérations (addition, soustraction, multiplication, division) avec le système décimal.

N'hésitez pas à me demander des précisions! Mon but étant d'y voir le plus clair possible dans la progression Montessori en mathématique. Lorsque j'ai débuté avec ma grande, je progressais au fur et à mesure avec elle. Alors que je présentais une nouvelle activité, je me demandais «quelle est la prochaine à présenter?». Maintenant que j'y vois un peu plus clair pour ma puce, j'ai tenté de faire un billet qui montre le chemin. hihi! Ce sera plus facile de montrer tout cela à ma puce maintenant que le chemin ne me paraît plus aussi flou. ;)

Pour ma grande....... et bien je continue à avancer vers le flou qui s'éclaircit au fur et à mesure que je progresse. hihihi! Mais j'aime ça! ;)