Et ma puce? Mathématiques

Un autre billet qui attend depuis trop longtemps. ;) Autant ma grande aimait les lettres au même âge (elle préfère encore beaucoup plus le français que les mathématiques ;), pour ma puce, se sont les chiffres qui ont la faveur populaire depuis plusieurs mois! Voici donc un petit tour d'horizon sur les chiffres avec ma puce. 

Ici, activité improvisée de coloriage magique. Ma puce voyait ma grande faire un coloriage magique pour travailler les conjugaisons et voulait en faire. Comme elle ne pouvait, bien sûr, faire le même exercice, elle a trouvé un dessin dans la classe (se sont en réalité les images du dossier à découper de la boutique de documents Montessori) et m'a dit qu'on pourrait en faire avec ça. J'ai fait 6 cases sur un dessin avec les 6 chiffres qu'elle connaissait à l'époque (à présent, tous les chiffres lui ont été présenté) et voilà pour le coloriage magique improvisé. Ensuite, elle découpait son coloriage! ;)

Ici, un appariement qu'elle a fait spontanément : associer les chiffres qu'elle a décalqué (mettre une feuille sur un chiffre rugueux et barbouiller avec un crayon de cire pour voir apparaître le chiffre) avec les chiffres rugueux. Elle a aussi associé de petites pinces-chiffrées.

Ici, une activité qu'elle adore : placer des perles, coquillages... pour suivre le tracé des chiffres. Elle aime aussi beaucoup suivre le tracé avec un crayon effaçable.

Ces grands chiffres proviennent de ce site. 

Encore et toujours suivre le tracé des chiffres, mais cette fois avec de la pâte à modeler. Ici, elle s'amusait à le déplacer à côté du modèle et tentait de le refaire à côté plutôt que directement sur le chiffre. 

Ici, elle a décidé de piquer des plumes dans un trois en pâte à modeler que j'avais faites. ;)

Coller des collants brillants et suivre le tracé des bosses avec son doigt ensuite. Elle a beaucoup aimé! 

Découper de petites fleurs avec un poinçon et en coller le bon nombre et s'exclamer 'hé! Ça fait un escalier!' Ensuite, elle a voulu colorier les cases vides! ;)

Ici, ma puce avait décidé d'associer les chiffres rugueux avec les grands chiffres découpés (trouvés ici). Ici, de 1 à 7, mais maintenant, elle a eu la présentation des chiffres 8 et 9 également. 

Autre activité qu'elle ADORE faire avec les chiffres rugueux, c'est de les chercher. ;) Je cache les chiffres dans la classe ou le salon et je lui demande 'trouve le 3...' puis le 7, etc (2e temps de la leçon à trois temps de Montessori). Ensuite, on inverse les rôles : elle cache les chiffres et me demande lesquels je dois chercher (3e temps de la leçon Montessori puisque pour me dire lequel chercher elle le regarde d'abord... ça m'aide à le trouver facilement disons... hihi!). On peut également placer les chiffres en cercle et l'enfant se place au milieu. On lui demande alors de toucher un chiffre en particulier (ensuite, c'est nous qui allons au centre et l'enfant nous dit qu'elle chiffre toucher). 

En parallèle des chiffres rugueux, j'ai également présenté les barres rouges et bleus à ma puce. Avant, d'en arriver-là, elle a bien sûr fait la tour rose, l'escalier marron ainsi que les barres rouges. Comme elle arrivait parfaitement à placer les barres rouges en ordre, qu'elle s'amusait souvent à dénombrer et qu'elle s'intéressait à l'écriture des chiffres, j'avais-là bien des signes pour me signifier qu'il était temps de lui présenter les barres rouges et bleus (et les chiffres rugueux). ;) Je met des liens vers d'autres blogs pour ceux qui voudraient savoir comment faire ces présentations. Je ne prends pas le temps de les détailler ici puisqu'une recherche sur google avec ces termes vous conduira vers plusieurs blogs qui ont déjà généreusement fait ces descriptions. ;) 

Sur cette photo, on voit ma puce qui colore une barre rouge et bleue dessinée. C'est une idée qui vient d'elle. Elle m'a demandé de dessiner les barres de 3-4-5 (celles que nous venions de travailler) et elle a voulu les colorier... 

... puis les découper. 

Finalement, elle a aussi un plateau pour tracer dans la semoule (lettres, chiffres), mais pour le moment, elle préfère les chiffres, particulièrement le 1. Il y a quelque temps, elle trouvait de nombreux 1 dans son environnement (exemple : regarde maman, le cou et la tête de la girafe, ça fait un 1! ;)

Voici pour ce billet sur les débuts en mathématiques de ma puce. Mon prochain billet présentera des idées d'activités pour associer chiffres et dénombrement. Bref, ce que l'on fait en associant les barres rouges et bleus et les chiffres, mais pour varier les idées! ;)   

Cercles de fraction

Je vais vous parler ici des débuts de l'apprentissage des fractions avec ma grande. Grande histoire d'amour entre ma grande et les fractions!!! La journée où je lui aie présenté ce qu'était 1/3, 1/4, etc reste gravée dans ma mémoire. J'ai vu le regard de ma grande s'illuminer, alors qu'elle venait de comprendre tout ce que l'on disait quand on faisait des recettes ensemble. ;) Elle était visiblement aux anges! Le soir même, elle s'est empressée de montrer ce qu'elle venait d'apprendre à son père. ;)

Précision : Je n'aie pas présenté la multiplication, la division et les fractions en deux semaines. ;) Je décris les activités que nous avons faites cette année. Bref, ces billets ne représentent pas ce que nous faisons en 'temps réels'. Après l'été, je tâcherai d'être plus à jour. ;)

Avant de commencer les présentations officielles à ma grande, je l'aie simplement laissé manipuler de façon sensorielle les cercles de fraction. Elle enlevait toutes les sections des cercles en les mélangeant et tentait de les remettre. Sans rien dire, elle a tout de suite compris que les cercles étaient divisés en sections égales. Pour les premiers, cela va facilement, mais pour les derniers (1/9 et 1/10), il faut parfois comparer en superposant les sections afin de s'assurer qu'elles sont de même dimension. Par cette manipulation sensorielle, l'enfant constate également que plus il y a de sections dans un cercle (donc plus on divise l'unité), plus les sections sont petites. Mais ici, je ne disais rien à ma grande, ce n'était que le travail 'sensoriel' avant la première présentation. 

Pour la première présentation, j'ai suivi les informations sur le précieux blog Montessori avec les 6-12 ans. J'ai donc rappelé à ma grande les unités de la division que nous ne pouvions pas partager (le reste). Puis, j'ai mentionné que nous allions partager cette unité aujourd'hui. Pour ce  faire, je me suis servie d'une pomme. 

La pomme représente l'unité. Nous l'avons donc partagé en deux, puis quatre, puis huit. Allez lire le blog Montessori avec les 6-12 ans, vous y trouverez le détail de cette présentation. Très intéressant!

1ère présentation : On sort les deux supports des cercles de fractions (donc le cercle entier et les fractions de 1/2 à 1/10). On montre le cercle entier et l'on mentionne que c'est un, c'est une unité comme la pomme au départ (avant de la couper). On présente les cercles de fraction un à un (celui-là est coupé en deux, celui-là en trois, etc). On mentionne également que les cercles sont coupés en parties parfaitement égales (on colle deux sections d'un même cercle dos à dos pour le démontrer). Bien oui, ici, on divise une unité en plusieurs sections... et... diviser, c'est partager en parts égales. ;) Quand on divise une unité, ça s'appelle une fraction. On mentionne que chaque section de cercle s'appelle une fraction. On mentionne l'origine étymologique du mot 'fraction' (vient du mot latin 'fractus' qui signifie 'casser'). On présente l'historique du symbole de fraction jusqu'à nos jours (au départ, on écrivait 'fractus', puis F... jusqu'à ce qu'on utilise qu'une barre horizontale). Je vous invite encore à aller lire le blog Montessori avec les 6-12 ans. C'est si bien expliqué et détaillé!

1. Après avoir présenté le symbole de la division, on place alors les bandes noires (symbole de la division) sous les cercles de fraction.

2. Ensuite, on dit à l'enfant que, sous la barre, on va écrire le 'nom de famille' de chaque fraction. Donc, sur la photo, on voit la famille des 2 (cercle coupé en deux), la famille des 3 (cercle coupé en trois) et la famille des 4 (cercle coupé en 4). 

3. Ensuite, on introduit le vocabulaire : quand on coupe une unité en deux, chaque fraction s'appelle un demi, quand l'unité est coupé en trois, chaque fraction s'appelle un tiers et quand l'unité est coupé en quatre, chaque fraction s'appelle un quart. Ensuite, on procède à une leçon en 3 temps pour l'acquisition du vocabulaire. Ici, la présentation se fait avec les cercles de fraction, mais il est important de montrer ces mêmes fractions, mais avec des carrés ou des triangles afin que l'enfant n'associe pas les fractions qu'à des cercles (je n'aie pas le matériel des carrés et des triangles, mais il est facile de faire cela avec du carton (plus difficile pour les cercles ;)

Lorsque le vocabulaire des trois premières fractions est bien connu, on présente 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9 et 1/10. Donc, une unité coupée en cinq, c'est un cinquième... Ici, je les aie tous présenté la même journée parce que c'était assez simple pour ma grande. Les seules fractions qui ont demandé un peu plus de temps sont 1/3 et 1/4 qu'elle nommait parfois un troisième et un quatrième. ;) Mais cela s'est placé assez rapidement (elle est habituée de cuisiner avec nous, alors ces termes lui étaient familiers). ;) Ma grande pouvait dire un troisième, mais se corriger elle-même rapidement puisque cela sonnait étrange dans sa tête.

J'écris toutes ces étapes une après l'autre, mais elles ne se font pas nécessairement toutes la même journée. On laisse l'enfant bien intégrer le vocabulaire avant de poursuivre et on suit son rythme. Pour aider à l'acquisition du vocabulaire, on demande 'montre-moi un cinquième', 'montre-moi une demi'... On demande à l'enfant de placer les barres noires et les nombres sous ces barres pour chacun des cercles de fraction. On sort une section d'un des cercles et on demande à l'enfant de nous dire ce que c'est, etc.

Donc, après avoir présenté le 'nom de famille' des fractions, on va montrer comment écrire une fraction au complet (donc on ajoute aussi le numérateur pour cette autre présentation).

Exemple : ici, j'ai sorti deux sections de la famille des tiers. 

On demande à l'enfant à quelle famille appartiennent ces sections. Réponse : famille des tiers. On place alors le chiffre 3 sous la barre de fraction (noire). Ensuite, on demande à l'enfant de compter le nombre de section que l'on a sorti. Ici, 2, donc je place le chiffre 2 au-dessus de la barre et je dis 'deux tiers'. 

On présente ensuite le vocabulaire : numérateur et dénominateur. 

Le nombre en bas est celui qui nous indique à quelle famille appartient la fraction. C'est le nombre qui donne le nom de la fraction. On l'appelle le dénominateur.

Le nombre du haut indique le nombre de section qu'on a pris. En latin, nombre se dit 'numérus'. On appelle donc le nombre du dessus le numérateur.   

Ensuite, on s'entraîne. On sort des sections d'une fraction et on demande à l'enfant d'écrire cette fraction en commençant par la barre, le dénominateur, puis le numérateur. On fait lire la fraction et on demande 'où est le dénominateur?' 'où est le numérateur?'. L'enfant s'exerce ainsi avec plusieurs fractions jusqu'à ce qu'il soit bien à l'aise. 

Ensuite, c'est nous qui écrivons une fraction et l'enfant doit sortir les sections correspondantes. On lui demande encore de lire la fraction et de montrer où est le dénominateur et le numérateur. On travail ainsi longuement. 

Ma grande s'est également fait un cahier de fraction. Elle choisissait la fraction, la dessinait et l'écrivait. Bref, même travail, mais cette fois à l'écrit. Un jour en faisant ces dessins, ma grande a commencé à observer d'elle-même la notion d'équivalence. En effet, elle avait dessiné sur la page de droite 2/6 et sur celle de gauche 3/9 et a remarqué que la partie colorée en rouge était similaire.    

Puisqu'elle était à l'aise avec les fractions et le vocabulaire, j'ai profité de cette découverte pour poursuivre avec la notion d'équivalence justement. ;)

Pour se faire, j'ai retiré une section du cercle des demis. L'enfant dit une demi et écrit 1/2 comme il a l'habitude. 

Ensuite, on demande à l'enfant de tenter de remplir la section manquante avec des sections d'un autre cercle (toutes des sections du même cercle par contre... ma grande tentait des mélanges au départ quand elle n'y arrivait pas... exemple : je ne peux pas mettre deux sections de la famille des tiers, mais je peux mettre une section de la famille des tiers avec une section de la famille des sixièmes ;). Ce n'est pas le but ici tout de suite, mais tout de même, c'est un beau début pour les additions des fractions je trouve (1/3 + 1/6 = 1/2). ;) Donc, on essaye avec les tiers, mais ce n'est pas possible. Avec les quarts, c'est possible en prenant deux quarts... etc. 

Voici toutes les équivalences à une demi qu'elle a sorti et aligné. 

Elle a ensuite dessiné et écrit ces fractions sur une feuille. Voici donc les fractions équivalentes à une demi.
Un autre jour, l'enfant cherche les équivalences du tiers, du quart et du cinquième et fait le même travail en les dessinant et les écrivant.

Avec ces cercles, nous avons également travaillé la notion plus grand que... plus petit que... (en lien avec le travail de son manuel de mathématiques de la méthode Singapour. Au départ, ce n'est pas évident pour un enfant que 1/6 est plus petit que 1/4. Mais en utilisant les cercles de fraction, cela devient plus claire. Ensuite, ma grande pouvait y arrivait sans le matériel puisqu'elle avait bien visualisée!  

Division avec les perles

Ma grande a fait plusieurs multiplications avec les perles dorées, puis avec les timbres. Je lui aie donc ensuite présenté la division avec les perles dorées (la multiplication se travaille en parallèle, mais pas avec le même matériel en même temps).  

On présente un nombre avec les grands symboles à l'enfant. Ici 6000, 900, 80, 5. L'enfant doit aller chercher les perles correspondantes et faire la magie du nombre pour voir 'apparaître' le nombre 6985. Voici donc le nombre à diviser. 

On dit à l'enfant que l'on veut diviser ce nombre par trois, donc on sort trois plateaux. Pour diviser, on doit distribuer les perles en s'assurant que chaque 'personne' (plateau - peluche - figurine... peu importe ;) reçoive exactement la même quantité de perles. N.B. Ce nombre ne se divise pas par trois, il y aura donc un reste. Pour une première présentation, il est peut-être préférable de s'assurer qu'il n'y aura pas de reste. 

Pour la division, on mentionne à l'enfant que c'est une opération spéciale puisque pour cette opération on ne commence pas par les unités comme habituellement, mais par la plus grande quantité, donc les milliers. 6000 se divise bien en trois (il y a deux cubes de 1000 par plateau). Ensuite, 900 se divise aussi facilement en trois (il y a trois plaquettes de 100 par plateau). 

Par contre, on ne peut pas partager nos huit barrettes de 10 en trois. Ici, on voit ma grande qui fait cette constatation. Elle tente toujours de diviser (par choix) d'abord sur sa table de travail avant de mettre dans les plateaux. 

Mais ici, elle a constaté que si elle faisait des groupes de deux, ça ne fonctionnait pas (on ne peut pas le diviser en 3).  Même constat si elle tentait de faire des groupes de trois barrettes.  

Au besoin, on amène alors l'enfant à réfléchir à ce qu'il pourrait faire afin de pouvoir continuer à faire le partage. L'enfant a souvent fait des changes avec les perles, alors il réalise qu'il peut changer les deux barrettes de 10 en vingt unités (2 X 10). 

Il peut à présent partager les six barrettes de dix restantes (deux dans chaque plateau) et effectue la division des unités (les 5 unités + les 20 unités du change, donc 25 unités). Évidemment, on ne peut diviser 25 en trois, donc il y aura un reste. L'enfant place les perles restantes dans une petite coupelle à côté (voir à droite sur la photo ci-dessus). On demande à l'enfant d'aller chercher les petits symboles correspondant au nombre de perles dans chacun des plateaux et de faire la magie du nombre. On a donc trois fois le même nombre. On mentionne à l'enfant que le résultat d'une division est ce que reçoit chaque membre du partage. Donc, on trouve le résultat de la division en lisant le nombre de n'importe quel d'un des trois plateaux. 

Finalement, on montre à l'enfant comment inscrire cette équation et on lit celle-ci : 6985 ÷ 3 = 2328 reste 1.
Comme pour la multiplication, on présente le vocabulaire : dividende (6985), diviseur (3), quotient (2328) et reste (1) et l'on procède à une leçon en 3 temps pour aider à l'acquisition de ce nouveau vocabulaire.

Ici, pour le plaisir de montrer ma grande à l'oeuvre avec ma puce qui prend plaisir à faire une des personnes qui reçoit des perles. ;)  

À présent, l'enfant peut commencer le travail de la mémorisation de la division (qui se fait en parallèle à celle de la multiplication). 

Après plusieurs divisions avec les perles dorées, nous pouvons présenter la division avec les timbres. Mais d'abord, il faut penser avancer dans la multiplication. Après, la multiplication avec les perles dorées et les timbres, il est bien de présenter la multiplication X10, X100, X1000 avec les perles dorées. Ensuite, après avoir présenté les grandes hiérarchies, l'enfant pourra faire des multiplications avec le grand boulier.  

Contes de la Terre

Je viens vous partager un site que je viens de découvrir, alors que je cherchais de petits contes à lire. 

http://www.energie-environnement.ch/maison/coin-des-ecoles/contes-pedagogiques

On y trouve de nombreux contes pédagogiques qui traitent de la protection de l'environnement. 

De belles lectures qui suscitent la réflexion et le désir de protéger notre environnement chez nos jeunes. 

Connaissant ma grande, je sens que cela va lui plaire! La lecture est toujours un plaisir pour ma grande!

On peut également explorer le site qui nous dévoile différents conseils pour sauver l'énergie dans nos maisons : http://www.energie-environnement.ch/maison

Etc, etc. Je n'aie pas encore tout exploré, mais cela me semble intéressant! 

Multiplication avec les perles

Au début de l'année scolaire, j'ai présenté à ma grande la multiplication avec les perles dorées. Rien de bien compliqué puisqu'il s'agit simplement d'additionner plusieurs fois le même nombre. Donc, puisque l'enfant sait depuis longtemps additionner avec les perles, il y arrivera très bien. Il s'agit ici surtout de découvrir que la multiplication consiste à additionner un nombre par lui-même un certain nombre de fois (exemple 3 X le même nombre). Si l'enfant a déjà fait des additions dynamiques avec les perles, on peut directement commencer à lui montrer une multiplication dynamique (avec change) puisqu'il sait comment effectuer des changes sans problème.

Donc,on choisit un nombre (ici, 2312) et on place les petits symboles dans un premier plateau. On demande ensuite à l'enfant de placer le même nombre (avec les petits symboles) dans les deux autres plateaux. L'enfant doit ensuite aller chercher la quantité de perles correspondante. Dans les trois plateaux, il mettra la même quantité puisqu'il s'agit 3 X du même nombre. Je n'aie pas prise une photo des plateaux avec les perles, mais si vous avez bien compris l'addition dynamique avec les perles, ceci ne devrait pas présenter de souci puisque c'est la même procédure, mais cette fois avec trois fois le même nombre. ;) Ensuite, l'enfant fait la magie du nombre (déjà fait ici dans les plateaux de la photo ci-dessus). On a donc 3 fois le même nombre et donc 3 fois la même quantité de perles dans chaque plateau. 

On demande à l'enfant d'additionner les perles de ces trois plateaux (donc de les mettre ensemble), d'aller chercher les grands symboles correspondant (grands symboles puisqu'en additionnant, on obtient un nombre plus grand) et de faire la magie du nombre. Noter ici que pour cette multiplication, on n'a pas besoin de faire de change, mais on peut très bien présenter une multiplication avec change dès la première présentation lorsque l'enfant a déjà fait des additions dynamiques sans difficulté. 

Ensuite, comme il a l'habitude, l'enfant place en ligne l'équation qu'il vient d'effectuer. Il commence à placer tout ça avec le symbole de l'addition comme il a l'habitude de le faire. Ensuite, on fait remarquer à l'enfant que cette addition est spéciale puisqu'on a ajouté toujours le même nombre. On demande à l'enfant combien de fois il a placé le même nombre dans les plateaux. Il dira 3 fois.  

À ce moment, on lui montre comment écrire ceci différemment (comme sur la photo ci-dessus). On lit l'équation : 3 fois 2312 égale 6936. On mentionne alors à l'enfant qu'il vient de faire une multiplication. On lui apprend également les termes 'multiplicande' (ici 2312), 'multiplicateur' (ici 3) et 'produit' (résultat de la multiplication, donc ici 6936). On utilise alors la leçon en 3 temps pour aider à l'acquisition de ce nouveau vocabulaire. 

Résumé très rapide pour ceux qui ne savent pas de quoi il s'agit quand je parle de la leçon en 3 temps : 

1er temps : nommer les termes (multiplicande, multiplicateur, produit)

2e temps : montre-moi le multiplicande... montre-moi le multiplicateur... montre moi le produit... 

3e temps : on pointe un des termes de l'équation et on demande 'qu'est ce que c'est?' 

Voilà! L'enfant pourra, à présent, commencer en parallèle, la mémorisation de la multiplication. 

Lorsque l'enfant aura fait suffisamment de multiplications avec les perles dorées, on lui présente la multiplication avec les timbres.  

Addition dynamique avec le boulier

Je viens de constater que j'ai publié mon billet sur la soustraction dynamique avec le boulier avant celui-ci qui porte sur l'addition dynamique avec le boulier. Évidemment, normalement, on présente l'addition dynamique avec le boulier avant la soustraction dynamique avec le boulier. ;)

Après s'être exercé plusieurs fois à effectuer des additions dynamiques avec les timbres (avec change), on présente l'addition dynamique avec le boulier. L'enfant traversera deux étapes, se dirigeant de plus en plus vers l'abstraction. 

1ère étape : 

On inscrit un premier nombre sur une feuille avec les lignes de couleurs hiérarchiques en colonnes.   

On 'inscrit' ce premier nombre sur le boulier. Ici, 2457. Ensuite, on inscrit le deuxième nombre sur les lignes de couleurs hiérarchiques (voir le cahier de la première photo ; on y voit les deux nombres d'inscrit : le nombre de départ et le nombre à additionner). Ici, on veut effectuer : 2457 + 1676. 

On commence toujours par les unités. Ici, on veut additionner 6 unités au 7 perles déjà existantes. On commence donc à compter 1, 2, 3 en tassant les perles des unités vers la droite (la ligne en haut). 

Après 3, on a plus de perle à gauche, mais il reste encore 3 unités à additionner. 

On va donc procéder à un change. Ici, on procède vraiment lentement afin que l'enfant voit bien comment on procède pour le change. Donc, on ramène les 10 perles des unités complètement vers la gauche et on déplace une perle des dizaines (bleu) vers la droite. Ici, je vous montre les perles en déplacement (faute de vidéo ;). Donc, on fait un déplacement croisé (les 10 perles des unités vont vers la gauche et simultanément, on déplace une perle bleue (dizaine) vers la droite. On faisant ça, on dit à l'enfant 'je change 10 unités en 1 dizaine'. On a donc maintenant 6 dizaines. 

Ensuite, on compte les perles qui restent à additionner. Donc, on avait déjà additionné 3, et on veut additionner 6 en tout. On compte donc après 3 (celles qu'on a déjà additionnée) : 4, 5, 6. Voilà, on a additionné 6 unités! 

Résumé : cela donne ceci en parole : 1, 2, 3... je change 10 unités en 1 dizaine... 4, 5, 6. Vous me suivez? ;) J'espère que mes photos rendent le tout clair parce que ce n'est pas compliqué en réalité (c'est simplement compliqué à décrire de façon statique ;). On peut donc noter le résultat des unités = 3

Ensuite, on doit additionner 7 dizaines aux 6 déjà présentes (on avait 5 dizaines au départ, mais rappelez-vous qu'on en a ajouté une en faisant un change ;). Donc, ici, je n'aie pas repris tout en détail les photos, mais on procède encore de la même façon. Ici, on ne voit que le résultat des dizaines, mais pour y arriver, on compte  1, 2, 3, 4 en tassant les dizaines vers la droite. Puis, il n'y a plus de dizaine, donc on dit 'je change 10 dizaines en 1 centaine' et donc on tasse toutes les dizaines vers la gauche en même temps de déplacer une centaine (rouge) vers la droite. Puis, puisque l'on veut additionner 7 dizaines, il reste donc encore 3 dizaines à additionner. On compte donc après les 4 déjà additionnés en disant : '5, 6, 7'. Résultat aux dizaines : 3. On fait remarquer à l'enfant qu'on a maintenant une centaine de plus en raison du change ; on en a donc 5 à présent.  

Ensuite, on veut additionner 6 centaines aux 5 centaines déjà présente. Donc, j'ai encore procédé de la même manière : je compte 1, 2, 3, 4, 5 (en tassant les perles rouges vers la droite). Puis, je dis 'je change 10 centaines en 1 millier'. En disant cela, on glisse les 10 perles rouges vers la gauche et une perle verte (millier) vers la droite. Puis, on continu à compter '6'. Puisqu'on voulait additionner 6 centaines, on arrête-là, et on obtient le résultat des centaines = 1 centaine. On fait remarquer à l'enfant que nous avons maintenant 3 milles plutôt que deux auparavant en raison du change.     

Finalement, on veut additionner un millier. Donc, on se retrouve avec 4 milles. 

J'espère que cela est clair même si je n'aie pas prise des photos pour chaque change (je me suis dit que c'était toujours pareil, donc si cela est clair pour l'addition des unités, ça devrait aller pour le reste ;). Évidemment, il n'est peut-être pas judicieux de poser une addition avec 3 changes dès le départ. 1 ou 2 changes pour commencer est préférable! ;) Plus l'enfant est à l'aise, plus on peut lui faire effectuer de changes. 

2e étape : 

Avant d'en arriver à l'étape 2, l'enfant effectue des additions dynamiques avec la table des points. C'est la table des points qui permet de voir la notion de retenue. Donc, en parallèle de l'addition dynamique avec le boulier, l'enfant fait des additions dynamiques avec la table des points. 

À cette étape, l'enfant commence à bien connaître les résultats des additions puisqu'il est bien avancé dans les exercices de mémorisation de l'addition. Donc, si on reprend l'addition du début (2457 + 1676), l'enfant additionne 7 unités + 6 unités = 13 (calcul qu'il effectue dans sa tête). Il va donc glisser directement 3 perles vertes (unités) et une perle bleue (dizaine) ; ce qui représente 13. On peut ici montrer à l'enfant comment noter la retenue sur sa feuille de calcul (en mettant un petit 1 au-dessus de la colonne des dizaines). Donc, l'enfant note son résultat de 3 unités sur la feuille et le petit 1 qui représente le change (pour ne pas l'oublier). Et l'enfant poursuit de cette façon pour le reste. 

Donc, ici, l'enfant fait les calculs dans sa tête et indique les résultats sur le boulier et sa feuille de calcul au fur et à mesure. L'enfant peut utiliser le boulier si besoin.

3e étape : 

Par la suite, lorsque l'enfant sera à l'aise, il pourra effectuer des calculs seulement sur papier. Voilà, il en est à l'abstraction totale! ;)

J'espère que tout ceci est clair. J'avoue ne pas être certaine de mes explications. N'hésitez pas à me demander des éclaircissements si besoin, je pourrai tenter de mieux expliquer en sachant les informations qui sont moins clairs. Je vous assure que c'est plus simple à faire que de tenter de l'expliquer par écrit en décortiquant tout! ;)

On peut à présent montrer la multiplication avec les perles dorées. 

  

Soustraction dynamique avec le boulier

Après la soustraction dynamique avec les timbres (avec change), on passe à la soustraction dynamique avec le boulier. C'est la dernière étape avant l'abstraction complète (calcul que sur papier sans le matériel). Bien sûr, l'enfant a déjà fait des soustractions statiques (sans change) avec le boulier.

1ère étape

Donc, ici, nous ferons 6261-2625. Pour la première présentation, on écrit d'abord que le premier nombre (6261) sur la feuille avec les lignes hiérarchiques (à gauche du boulier sur la photo). Comme pour l'addition, l'équation est inscrite en colonnes et l'enfant écrira sa réponse en bas sur les lignes de couleur (ces lignes reprennent les couleurs des perles du boulier... et aussi des timbres... Bref, c'est toujours les mêmes couleurs ;)). Comme toujours, l'enfant commence à inscrire ce premier nombre sur le boulier. 1 unité (perle verte en haut), 6 dizaines (6 perles bleus), 2 centaines (2 perles rouges) et 6 unités de mille (6 perles vertes en bas) vers la droite. NB : Je n'aie qu'un grand boulier, mais normalement, à cette étape, on utilise le petit boulier avec seulement les rangées pour les unités, dizaines, centaines et unités de mille. Ma grande s'y accommode très bien, mais évidemment les nombres plus bas l'intriguent énormément. ;)

On écrit ensuite le 2e nombre sur le papier (ici, 2625) et on montre à l'enfant comment procéder avec le boulier. On commence toujours par les unités, donc ici on veut enlever 5 unités (1 - 5 = impossible). On commence à soustraire les unités que nous avons en comptant... ici 1... (et il n'y a plus d'unité). 

On va donc procéder à un change afin de pouvoir poursuivre notre soustraction des unités. On va donc échanger 1 dizaine contre 10 unités. Pour se faire, avec le boulier, nous tassons une de nos perles bleus (dizaines) vers la gauche (on a maintenant 5 perles bleus à droite) et en même temps, on tasse les 10 perles vertes des unités (en haut) vers la droite. Voilà! On a échangé 1 dizaine (bleu) contre 10 unités (vertes). 

On peut donc poursuivre la soustraction des unités. On en a déjà enlevé 1, donc on poursuit notre soustraction en comptant 2, 3, 4, 5. Il reste donc 6 unités. Ici, on fait remarquer à l'enfant qu'il reste maintenant 5 perles des dizaines (en raison du change, nous avons une dizaine de moins qu'au départ).  

On poursuit avec les dizaines (bleus). 5 - 2 = 4. Ici, pas besoin de change, on peut enlever 2 dizaines et il en reste 3. 

Ensuite, on veut enlever 6 centaines (rouge), mais on en a que 2. Donc, on compte 1, 2 en tassant les centaines vers la gauche...

Ensuite, on change 1 mille pour 10 centaines. Donc, on range une perle verte des milles vers la gauche et en même temps, on tasse les 10 perles rouges des centaines vers la droite. 

Après ce change, on peut poursuivre la soustraction des centaines. On voulait en enlever 6, on en a déjà enlevé 2, donc on poursuit en comptant 3, 4, 5, 6 en tassant les perles comptées vers la gauche. Il reste donc 6 centaines après la soustraction. On fait remarquer à l'enfant qu'on a maintenant 5 perles vertes de mille puisqu'on en a échangé une.

Finalement, on soustrait les milliers en enlevant 2 perles vertes (celle de la rangée des milles). Il reste donc 3 perles de mille. 

Nous apercevons donc sur le boulier la réponse de notre soustraction : 3636

 2e étape

Lorsque l'enfant est bien avancé dans la mémorisation de la soustraction, il peut passer à la 2e étape de la soustraction dynamique avec le boulier. En effet, ici, l'enfant devra faire les calculs mentalement tout en utilisant le boulier. Voici comment procéder : 

Ici, nous allons calculer : 5497 - 2668. Donc, l'enfant inscrit le premier nombre sur le boulier (5497). 

On commence la soustraction par les unités. Donc, on veut soustraire 7 - 8. Impossible, donc on doit procéder à un change (changer une perle de 10 - perles bleues). Pour cette deuxième étape, on va tasser au milieu une perle de nos 9 dizaines (bleu). On va également mettre au milieu nos 7 perles des unités. On visualise donc la dizaine que l'on ajoute aux 7 unités afin de pouvoir soustraire 8 unités. On dit à l'enfant que l'on doit donc faire 17 - 8. (17 = nos 7 perles d'unités + les 10 perles du change). Ici, l'enfant fait le calcul dans sa tête (d'où l'importance d'être bien avancée dans la mémorisation de la soustraction).  

Donc 17 - 8 = 9. Donc, on tasse vers la gauche les 7 perles d'unités + la perle de dizaine que nous avions placé au milieu et on met 9 perles d'unités à droite. L'enfant écrit donc le résultat des unités sur sa feuille de calcul (9). On fait remarquer à l'enfant qu'on a maintenant 8 perles des dizaines (en raison du change). 

Ici, on a pu soustraire 8 - 6 = 2 (rangée des dizaines - perles bleus). L'enfant note le résultat des dizaines (2). 

Nous devons soustraire les centaines maintenant. 4 - 6 = impossible. Donc, même principe. On déplace au centre une perle verte des unités de mille pour montrer le change + les 4 perles des centaines. L'enfant doit donc faire 14 - 6 dans sa tête...  

Réponse : 8. Donc, on tasse les perles qu'on avait placé au milieu vers la gauche et on place les 8 perles rouges (notre réponse aux centaines) vers la droite. On note le résultat sur la feuille. On fait remarquer à l'enfant qu'il y a maintenant 4 perles de mille (plutôt que 5 auparavant... avant le change).

Finalement, on fait 4 - 2 = 2, donc on tasse deux perles de mille vers la gauche et on obtient notre résultat 2 milles. On note le résultat sur notre feuille et l'enfant lit la réponse 2829 et vérifie sa réponse en déroulant sa feuille de calcul hiérarchique (comme déjà montré ici pour l'addition avec le boulier). 

3e étape

Je n'aie pas prise de photo puisque cette étape est celle que nous connaissons tous. On montre simplement à l'enfant comment faire le calcul sur le papier en mettant la retenue en évidence (plus facile de ne pas l'oublier). L'enfant peut s'aider ou vérifier son calcul à l'aide du boulier s'il en ressent le besoin.

Voilà, l'enfant a franchi toutes les étapes pour la soustraction dynamique (avec change) : du concret avec les perles dorées, puis avec les timbres et finalement avec le boulier qui nous mène à l'abstraction complète en faisant les calculs que sur papier à la 3e étape. 

J'espère que c'est assez compréhensible! Je conviens que c'est assez ardu à lire tous ces calculs et manipulations! Une fois qu'on a compris, c'est très simple. ;) 

À ce stade, les étapes de l'addition dynamique ont été tous présenté, on a donc commencé à présenter les étapes de la multiplication. La première étant avec les perles dorées.